風險
如果變異數是凹的，為什麼投資組合優化是一個凸問題？
變異數是凹的，所以投資組合風險也必須如此。
均值變異數模型採用二次規劃來優化（最小化）投資組合風險。我的理解是二次規劃需要一個凸目標函式。因此，如果投資組合優化中的目標函式是凹的，那麼如何使用需要凸函式的常式來解決呢？
以下是我的猜測：
- 投資組合風險實際上是凸的，因為它是加權變異數
- 它符合優化器，因為它不是變異數，而是滿足凸性要求的正定共變異數矩陣
首先，需要進行更正：您引用的數學問題是作為參數函式的伯努利隨機變數的變異數 $ p $ . 那確實是凹進去的 $ p $ . 然而，投資組合的變異數， $ w^T\Sigma w $ ,不凹入 $ w $ . 所以你最初的凹度假設是不正確的。
對於伯努利隨機變數，結果的不確定性對於同樣可能的結果是最不確定的。這與權重為 $ 1/N $ 分散我們對多種風險來源的敞口，從而傾向於減少總變異數。
對於均值變異數投資組合優化，我們有以下問題： $$ \begin{align} \max_w &~w^T R - \frac{lambda}{2} w^T\Sigma w \ \text{s.t.} &~||w||_1 = 1. \end{align} $$
這裡，目標函式是線性函式減去二次形式；那是凹的。
如果我們改為使用連貫的風險度量，目標函式就變成了 $ w^T R - \frac{\lambda}{2} \text{Risk}(w) $ . 請注意，如Föllmer 和 Schied (2008)中所討論的，連貫的風險度量（如 CVaR/ES/TCE/ETL）是凸的。
這兩個目標都是凹的。但是，正如 Arshdeep 現有的答案所指出的，可以通過乘以 -1 來使凹函式變為凸函式。最後我應該指出，我們甚至不需要凸性，而通常只需要準凸性（這可能是約束優化的情況）。