動態過程的穩定結果
考慮一個變數 $ Y_t $ 根據固定關係隨時間演變 $ Y_{t+1} = f(Y_t) $ . 顯然，固定點 $ f $ 是過程的吸收狀態。為了評估穩定性，我們現在可以允許小錯誤，即 $ Y_{t+1} = f(Y_t) + \epsilon_t $ （我認為具體如何並不重要 $ \epsilon_t $ 是分佈的，但我們應該假設它的均值為零）。在這種情況下，我相信穩定點將取決於斜率 $ f $ . 特別是，我們需要問 $ f $ 大於或小於一（在不同的點）。
問題：任何人都可以向我推薦闡明這些過程的數學的文本嗎？
評論 1：我知道這種事情出現在許多經濟學領域，例如宏觀經濟學（想想索洛模型）、增長理論（想想“窮經濟學”中的 S 形）和進化博弈論。這些參考文獻很好，但理想情況下，我正在尋找一種相對抽象的處理方法。
評論 2：如果我提供一個我所追求的例子可能會有所幫助。讓 $ f(Y) = Y^2 $ 並假設初始值 $ Y_0 $ 在 $ [0, 1] $ . 然後 $ Y_t \in [0, 1] $ 對全部 $ t > 0 $ . 此外，該函式在 $ Y = 0 $ 和 $ Y = 1 $ ; 因此，如果 $ Y_t $ 以某種方式達到這些點，它會卡在那裡。現在考慮“擾動”過程，讓我們假設 $ Y_{t+1} = Y_t^2 + \epsilon_t $ . 計算導數， $ f’(Y) = 2Y $ 所以導數是 $ f’(0) = 0 < 1 $ 和 $ f’(1) = 2 > 1 $ . 這表明，在某種意義上（我希望澄清一下！），固定點 $ Y = 0 $ 是穩定的，並且該過程通常應該結束。
考慮動態系統 $ Y_{t+1} = f(Y_t) $ . 為了研究局部的穩定性 $ Y^\ast = f(Y^\ast) $ 你可以採用泰勒展開式 $ Y_{t+1} $ 大約 $ Y^\ast $ . $$ \begin{align*} &Y_{t+1} \approx f(Y^\ast) + f’(Y^\ast)(Y_{t} - Y^\ast),\ \to &Y_{t+1} \approx Y^\ast + f’(Y^\ast) (Y_{t} - Y^\ast),\ \to &Y_{t+1} - Y^\ast \approx f’(Y^\ast) (Y_t - Y^\ast) \end{align*} $$
這些來自 Oded Galor 的講義似乎很完整。所以： $$ (Y_t - Y^\ast) = (f’(Y^\ast))^t(Y_1 - Y^\ast) $$ 現在如果 $ |f’(Y^\ast)| < 1 $ 然後這收斂到零。所以 $ Y_t $ 收斂回 $ Y^\ast $ 在（小）局部偏差之後。