馬科維茨；無風險資產的風險資產邊界
以下陳述中“跨越”結果背後的直覺是什麼？
對於一對固定的不同前沿投資組合 $ \phi_p $ 和 $ \phi_q $ , 任何前沿投資組合 $ \phi $ 可以得到作為線性組合 $ \phi_p $ 和 $ \phi_q $ . 因此，我們說投資組合前沿由兩個前沿投資組合跨越。
我更喜歡將平均變異數邊界解釋為由 Hansen 和 Richard (1987) 提出並在 Cochrane (2005) 中討論過的線性代數的結果。簡單來說：
收益空間是收益向量空間中的一個超平面。
均變異數邊界上的收益集是收益空間中的一條線。
- 一條線上的任何兩個不同的點都定義了這條線。（這基本上就是兩個基金分離定理歸結為的內容。）
為什麼是一條線？鬆散地說，回報空間中只有一個向上的方向（更高的預期回報），並且在任何垂直方向上移動都不會改變預期回報（但會改變變異數）。向上移動以獲得更高的預期回報，向下移動以獲得更低的預期回報，並垂直移動離開線以獲得更大的變異數和相同的預期回報。
我將簡要概述一些論點，但請閱讀 Cochrane 進行更深入的討論。
預賽
讓 $ X $ 和 $ Y $ 表示隨機變數。請注意 $ \operatorname{E}[XY] $ 是一個內積。 $ X $ 和 $ Y $ 如果它們的內積為零，則稱為正交，即 $ \operatorname{E}[XY] = 0 $ .
讓 $ R^* $ 表示隨機折扣因子在收益空間上的投影，並按比例縮放，使其成為回報。超額收益的超平面與貼現因子正交，並且 $ R^* $ . 讓 $ R^{e*} $ 表示常數的投影 $ 1 $ 進入超額收益空間。在返回空間，向著方向移動 $ R^{e*} $ 會帶來更高的預期回報。
Hansen Richard 正交分解
重要的一點是，任何回報 $ R_i $ 可以使用以下正交分解來編寫：
$$ R_i = R^* + w_i R^{e*} + \eta_i $$ 不同的回報 $ R_i $ 會有不同的 $ w_i $ 和 $ \eta_i $ . （筆記 $ w_i $ 是一個標量並且 $ \eta_i $ 是一個隨機變數。）通過構造觀察， $ \eta_i $ 與 1 正交，因此 $ \operatorname{E}[\eta_i]= 0 $ . 所以：
$$ \operatorname{E}[R_i] = \operatorname{E}[R^] + w_i \operatorname{E}[R^{e}] $$ 使用 $ R^* $ , $ R^{e*} $ ， 和 $ \eta_i $ 都是相互正交的，你可以進一步證明：
$$ \operatorname{Var}(R_i) = \operatorname{Var}\left( R^* + w_i R^{e*} \right) + \operatorname{Var}(\eta_i) $$ 均變異數邊界上的收益集是直線 $ R^{mv} = \left{ R^* + \alpha R^{e*} \mid \alpha \in \mathbb{R} \right} $ . 沿均值變異數邊界的任何回報 $ \eta_i = 0 $ . 一個非零 $ \eta_i $ 給你變異數，但預期回報沒有變化（因為空間 $ \eta_i $ 謊言與 $ R^{e*} $ , 的投影 $ 1 $ 到超額收益空間）。為什麼是 $ 1 $ 特別的？隨機變數的內積 $ 1 $ 給出它的意思。
安全權重空間中的漢森理查德（而不是返回空間）
- 讓 $ \mathbf{R} = \begin{bmatrix} R_1 \ \ldots \ R_k \end{bmatrix} $ 是一個隨機向量，表示 $ k $ 證券。
- 讓共變異數矩陣 $ \Sigma = \operatorname{Cov}(\mathbf{R}) $ 和平均返迴向量 $ \boldsymbol{\mu} = \operatorname{E}[\mathbf{R}] $ .
- 為方便起見，讓 $ A = \Sigma + \boldsymbol{\mu} \boldsymbol{\mu’} $ . （因此 $ A = \operatorname{E}[\mathbf{R}\mathbf{R}’] $ .)
- 定義內積 $ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle_A \equiv \mathbf{x}’ A \mathbf{y} $ .
- 讓 $ \mathbf{1} $ 表示 1s 的向量。
安全權重 $ \mathbf{w}^* $ （一個向量）和相應的回報 $ R^* $ （隨機變數）由下式給出：
$$ \mathbf{w}^* = \frac{A^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}‘A^{-1}\mathbf{1}} \quad \quad R^* = \mathbf{w}^* \cdot \mathbf{R} $$ 安全權重 $ \mathbf{w}^{e*} $ 和超額回報 $ R^{e*} $ 由以下給出：
$$ \mathbf{w}^{e*} = A^{-1}\boldsymbol{\mu} - \left( \frac{\mathbf{1}’ A^{-1} \boldsymbol{\mu}}{\mathbf{1}‘A^{-1}\mathbf{1}}\right) A^{-1}\mathbf{1} \quad \quad R^{e*} = \mathbf{w}^{e*} \cdot \mathbf{R} $$ 平均變異數邊界上投資組合的證券權重為：
$$ \left{ \mathbf{w}^{} + \alpha \mathbf{w}^{e} \mid \alpha \in \mathbb{R} \right} $$ $$ \left{ \frac{A^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}‘A^{-1}\mathbf{1}} + \alpha \left[ A^{-1}\boldsymbol{\mu} - \left( \frac{\mathbf{1}’ A^{-1} \boldsymbol{\mu}}{\mathbf{1}‘A^{-1}\mathbf{1}}\right) A^{-1}\mathbf{1} \right] ,\middle|, \alpha \in \mathbb{R} \right} $$ 或等效地：
$$ \left{ \left( 1 - \beta \right) \frac{A^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}‘A^{-1}\mathbf{1}} + \beta \frac{ A^{-1}\boldsymbol{\mu}}{\mathbf{1}’ A^{-1} \boldsymbol{\mu}} ; \middle| \ \beta \in \mathbb{R} \right} $$ 這是由最小變異數投資組合的組合追踪的相同均值變異數邊界 $ \mathbf{w}{\mathrm{mv}} = \frac{\Sigma^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}’\Sigma^{-1}\mathbf{1}} $ 和相切投資組合 $ \mathbf{w}{\mathrm{tan}} = \frac{\Sigma^{-1}\boldsymbol{\mu}}{\mathbf{1}\Sigma^{-1}\boldsymbol{\mu}} $ 但是看到代數有點可怕。
參考
Cochrane, John，資產定價，2005
Hansen、Lars Peter 和 Scott F. Richard，“條件資訊在推斷動態資產定價模型隱含的可測試限制中的作用”，計量經濟學，1987 年連結