Avellaneda-Stoikov 經驗估計驗證
模型的解包含常數： $ k = \alpha K $ ，它涉及：（i）獲得填充的機率（ $ \alpha $ ) 和 (ii) 市場影響 ( $ K $ ).
估計 (i)。作者建議市價單大小遵循冪律分佈：
$$ f(x)^Q \propto x^{-1-\alpha} $$
所以估計這個沒有問題。
估計 (ii)。這裡有兩個感興趣的方程：
$$ \Delta p \propto \ln Q \tag{11} $$
$$ \begin{align} \lambda (\delta) &= \Lambda \mathbb{P} [\Delta p > \delta] \ &= \Lambda \mathbb{P}[\ln Q > K \delta] \ &= \Lambda \mathbb{P} [Q > \exp \left( K \delta \right)] \ &= \Lambda \int_{\exp (K \delta)}^{\infty} x^{-1-\alpha} dx \ &= A \exp \left( -k \delta \right) \end{align} \tag{12} $$
根據以上兩點：
(12) 中的第 1 行說 $ \Delta p > \delta $ ，但我們知道 $ \Delta p = c \ln Q $ ，因此我們可以重寫：
$$ \begin{align} \mathbb{P} [\Delta p > \delta] &= \mathbb{P} [c \ln Q > \delta] \ &= \mathbb{P} [\ln Q > \frac{1}{c} \delta] \end{align} $$
所以， $ K = \frac{1}{c} $ ，我們在關係中找到的比例常數的倒數 $ \Delta p \propto \ln Q $ .
這個對嗎？（估計 $ K $ ).
注意：我知道 Sophie Laruelle 的論文。但是，不幸的是，我不懂法語。
超級註意： 我對這個答案的理解與索菲的論文有關：
定義：
- $ t_0 $ - 開始時間（這是Poisson過程中到達間隔時間段的開始時間點）。簡單地說，如果你被擊中，那就是一個新的時間： $ t_1 $ ，這將成為您的新開始時間。
- $ \delta P $ - 您的訂單與中間價的距離。如果中間價是100美元，而您的出價是85美元，那麼這個數量就是15美元。顯然，要價也是如此。
- $ P^m (t) $ - 是您當時的中間價 $ t $ .
程序：
- 記錄開始時間： $ t_0 $ 和相應的中間價： $ P^m(t_0) $ 此時。
- 記錄時間 $ t_1 $ 當出價/要價被擊中並且 $ \delta P $ s。我添加複數“s”結尾的原因是因為您可能會在多個級別上受到打擊。這裡需要一個例子。這是您的訂單簿 (OB)：
|--- qty ---| --- size --- | asks $105 10 $104 5 bids $100 6 $99 5想像一個市場訂單進來，在投標規模上吃掉 8 個單位（所以這是市場賣出）。你記錄價格的變化， $ \delta P = $102 - $100 = $2 $ 在第一級和該交易的相應時間， $ t_1 $ . 你也記錄 $ \delta P = $102 - $99 = $3 $ 同時， $ t_1 $ （在這種情況下）。如果有一個市價單只接受了最佳賣價/買價的一部分，或全部最佳賣價/買價並且沒有更深入，我們只會收集一個 $ \delta P $ 與其對應的 $ t $ . 請注意，您可以定義以不同方式擊中訂單的點，這取決於您。- 你現在有時間長度和相應的大小。Poisson過程中的到達間隔時間是指數的：
$$ \mathbb{P}[X_1 > t] = \mathbb{P}\left[ \texttt{no arrival in time (0, t]} \right]= e^{-\lambda t} $$
- 所以現在對於每桶價格變化，例如： $ [$1, $1.5] $ 即所有的 $ \delta P $ 介於 1 到 1.5 美元之間，您有一個間隔時間列表： $ [0.3, 0.2, 0.5, 0.7, 1.1] $ 片刻之間。將上述指數分佈擬合到每個數據桶以獲得一些經驗估計 $ \lambda $ .
- 您現在有來自 Sophie 論文的圖 1。做得好。
前面的問題：
- 現在怎麼辦？所以問題是，如果你把回歸擬合到這個，你的 $ k $ ， 你的…是 $ A $ ?
- 沒那麼重要。這個等式指的是什麼，是什麼 $ P_1 $ ， 什麼是 $ P_2 $ ， 什麼是 $ P $ :
$$ k = \mathbb{E}{P1,P2}\left(\frac{\log\lambda(\Delta P1) - \log(\lambda(\Delta P2)}{\Delta P1 - \Delta P2}\right),\quad A=\mathbb{E}{P}(\lambda(\Delta P) \exp k \Delta P) $$
您的文章更新正確地解決了大部分問題。
關鍵是生成一個類似於Sophie 論文中的圖形，一旦你有了它，你就可以做一個回歸來找到 $ A $ 和 $ k $ 在
$$ \lambda(δ) = Ae^{(-kδ)}, $$
直覺地說，您要繪製的是上述等式的實現，因此您需要做的就是確定係數。
編輯：我從對數線性回歸開始，雖然起初看起來不錯，但對於小刻度尺寸來說非常糟糕，實際上使用另一種方法可能會更好，即
$$ k = \left(\frac{\log(\lambda(δ2) / \lambda(δ1))}{δ2 - δ1}\right),\quad A=\lambda(δ1) e^{(kδ1)} $$
其中 δ1 和 λ(δ1) 是刻度值 1 和速率值 1，因此您實際上只是在建構一條指數曲線，保證通過與您任意選擇的兩個刻度相對應的值。
需要注意的一些事項：
- 如果您在下一個價格水平被觸及時記錄成交，您記錄的不是成交率，而是跳躍率
2）填充率必須隨著 $ δ $ 否則回歸將沒有任何意義，你會得到不好的價值。
$ k $ 必須是正數，因此如果您進行對數級回歸，則需要否定它
你在這裡記錄的本質上是歷史阿爾法，它可能對預測市場將要做什麼，而不是它已經做了什麼，可能有用也可能沒有用。