Avellaneda-Stoikov 做市模型
我正在閱讀 Marco Avellaneda 和 Sasha Stoikov 的限價訂單書中的高頻交易論文。在論文的最後，他們獲得了一個封閉形式的解，該解是在沒有漂移的情況下擴散下的最優做市商報價。他們發現，做市商的最佳行為是設置買賣價差的大小：
$$ spread = \gamma\sigma^2(T-t) + \frac{2}{\gamma}ln(1+\frac{\gamma}{k}), $$ 在哪裡 $ \gamma $ 是折扣因子， $ \sigma^2 $ 是過程的變異數， $ k $ 是對應市價單到貨強度的參數， $ T $ 是終端時間和 $ t $ 是目前時間，大約是由以下給出的保留價格： $$ price = s - q\gamma\sigma^2(T-t), $$ 在哪裡 $ q $ 是庫存的狀態和 $ s $ 是目前價格。
但是，我沒有看到該保留價格的任何界限規範，因此我認為無法保證做市商計算的要價會高於或買入價會低於流程的目前價格。
因此，做市商的賣價高於和賣價低於其模型（例如在他們的模擬中）強制執行的實際價格的必要性如何？
編輯：更具體地說，我只是指定，在我看來，它需要保持：
$$ price + spread/2 - s > 0 $$ 讓我們表示 $ price $ 經過 $ p_{mm} $ 和 $ spread/2 $ 經過 $ s_{mm} $ . 然後
$$ p_{mm} + s_{mm} - s > 0, \ s - q\gamma\sigma^2(T-t) + \frac{\gamma\sigma^2(T-t)}{2} + \frac{1}{\gamma}ln(1+\frac{\gamma}{k}) - s >0 \ (…) \ \frac{1}{2} + \frac{ln(1+\frac{\gamma}{k})}{\gamma^2\sigma^2(T-t)} > q $$ 但是，這種情況不需要發生，因此不能保證他會設置與目前市場價格相適應的價格。
做市商進行買賣差價 $ \delta $ 大約保留價 $ r $ . 所以在任何時候，做市商都會報出買入價
$$ p_b = r - \delta/2, $$ 和要價 $$
p_a = r + \delta/2. $$ 因此，買價總是低於保留價，而要價總是高於保留價。預訂價格 $$ r = s - q\gamma\sigma^2(T-t) $$ 是市場價格減去取決於庫存的項 $ q $ 做市商持有的。如果 $ q $ 為正則保留價格走低（低於市場價格），反之為負 $ q $ ，反映庫存風險。 如果庫存增加，底價最終將移動到做市商報價開始吸引訂單清算庫存的點，這將再次導致底價發生變化。訂單有機率到達$$ \lambda_a(\delta^a)dt = Ae^{-k\delta^a}dt, $$ 對於要價，對於買入價也是如此。這裡 $ \delta^a $ 是賣出報價與市場價格的距離。因此，如果買價變得足夠高，它將以機率 1 執行，並且等效地，如果賣價變得足夠低。因此，底價將進入反映存貨風險的平衡狀態。 請注意，沒有要求 $ p_b<s $ ， 或者 $ p_a>s $ . 做市商可以發布有競爭力的買賣價格，以改善目前市場價格，以管理庫存。