嘗試分析證明看漲期權價格隨著其行使價的增加而下降
我被困在試圖分析證明一個特定的、定義較低的函式的偏導數 $ C $ 是負數。這個問題的背景實際上是 Black-Scholes 市場情況，其中看漲期權的價格隨著其行使價的增加而下降。
對於給定的正常數 $ S, K, r, \sigma $ 和 $ T $ ， 我們有：
$$ C(S,K,r, \sigma,T)=S \Phi(d_1)-Ke^{-rT}\Phi(d_2), $$ 在哪裡 $$ d_1=\frac{\ln \frac{S}{K}+(r+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}, $$ $$ d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}. $$ 我必須證明函式 $ C $ 正在減少，如果 $ K $ 在增加。首先，我計算偏導數：
$$ \begin{align} \frac{\partial C}{\partial K}&=S\frac{d \Phi(d_1)}{d (d_1)} \frac{\partial d_1}{\partial K}-e^{-rT}\Phi(d_2)-Ke^{-rT}\frac{d \Phi(d_2)}{d (d_2)}\frac{\partial d_2}{\partial K}\ & = S \varphi(d_1)\frac{K}{\sigma \sqrt{T}}-e^{-rT}\Phi(d_2)-Ke^{-rT}\varphi(d_2)\frac{K}{\sigma \sqrt{T}}\ & = K^2 \left( -e^{-rT} \frac{\varphi(d_2)}{\sigma \sqrt{T}} \right) + K \left( S \frac{\varphi(d_1)}{\sigma \sqrt{T}}\right) -e^{-rT}\Phi(d_2). \end{align} $$ 在哪裡 $ \Phi(x) $ 是標準正態累積，並且 $ \varphi(x) $ 標準正態密度函式。 這或多或少是我所擁有的。我知道我應該以某種方式證明最後一個表達式總是非負的，所以我嘗試計算二次函式的行列式 $ K $ ，我得到了
$$ D= \frac{S^2 (\varphi(d_1)^2)}{\sigma^2 T}-4 \frac{e^{-2rT }\varphi(d_2)\Phi(d_2)}{\sigma \sqrt{T}}. $$ 現在我應該證明它是積極的。不知道怎麼做？也有可能我誤解了某些東西並遺漏了一些必要條件，我不確定。
感謝您對此的見解，我真的很感激。
你計算的方程的第三個等式出了點問題 $ \partial C_0 / \partial K $ . 從第二個相等開始，您可以使用它
$$ \begin{equation} S_0 \mathcal{N}’ \left( d_1 \right) = K e^{-r T} \mathcal{N}’ \left( d_2 \right), \end{equation} $$ 參見例如 Wystup (2006) 中的公式 (1.29)。或者，您可以使用同質性結果
$$ \begin{equation} C_0 = S_0 \frac{\partial C_0}{\partial S_0} + K \frac{\partial C_0}{\partial K} \end{equation} $$. 參見 Wystup (2006) 中的公式 (1.36)。這立即產生結果為
$$ \begin{equation} \frac{\partial C_0}{\partial K} = \frac{C_0 - S_0 \partial C_0 / \partial S_0}{K} = -e^{-r T} \mathcal{N} \left( d_2 \right). \end{equation} $$ 同質性結果實際上適用於所有具有恆定規模收益的模型，而不僅僅是幾何布朗運動，參見 Merton (1973) 中的定理 9。
另一種方法來證明 $ \partial C_0 / \partial K < 0 $ 在無模型設置中，要注意長期看漲期權的投資組合 $ K + \Delta $ 並用罷工做空電話 $ K $ 收益等於
$$ \begin{equation} C_T = \begin{cases} -\Delta < 0 & \text{if } S_T > K + \Delta\ K - S_T < 0 & \text{if } K + \Delta \geq S_T > K\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}. \end{equation} $$ 由於投資組合收益在任何地方都是非正數，但對某些人來說嚴格為負數 $ S_T $ , 其初始值 $ C_0 $ 如果 $ \mathbb{P} \left{ S_T > K \right} > 0 $ . 現在除以 $ \Delta $ , 取極限為 $ \Delta \downarrow 0 $ 你有
$$ \begin{equation} \frac{\partial C_0}{\partial K} = \lim_{\Delta \downarrow 0} \frac{C_0(K + \Delta) - C_0(K)}{\Delta} < 0. \end{equation} $$ 參考
Merton, Robert C. (1973) “理性期權定價理論”，貝爾經濟與管理科學雜誌，卷。4，第 1 期，第 141-183 頁
Wystup, Uwe (2006)外匯期權和結構性產品，Wiley Finance