Higham 中的連續時間資產模型
我在“金融期權估值導論”中閱讀了 Higham 對 Black-Scholes 方程的推導。我遇到的問題是它依賴於與連續時間資產模型相關的一些假設，但這些假設似乎並不完全合理。我希望有人已經看到了這種推導（但這可能沒有必要回答我的問題）。
這個想法是從一個離散時間資產模型開始，該模型對價格進行建模 $ S(t) $ 的資產。模型是 $$ \begin{equation} S(t_{i+1}) = (1+\mu \delta t + \sigma \sqrt{\delta t} Y_i)S(t_i) \end{equation} $$ 我們在一個時間間隔內工作 $ [0,t] $ 和 $ n $ 子區間 $ [t_i, t_{i+1}] $ 長度 $ \delta t $ . 這裡， $ \mu $ 和 $ \sigma $ 是常數和 $ Y_i $ 是分佈為 N(0,1) 的 IID 隨機變數。現在，當移動到連續時間模型（對應於極限 $ \delta t \to 0 $ )，海厄姆寫道 $$ \begin{equation} \text{log}\left(\frac{S(t)}{S(0)} \right) = \sum_{i=1}^n \text{log} \left(1 + \mu \delta t + \sigma \sqrt{\delta t} Y_i \right) \end{equation} $$ 然後將右手邊展開為泰勒級數以計算左手邊的期望值和變異數。訴諸中心極限定理然後可以寫下一個連續時間模型 $ S(t) $ . 我遇到的問題是 $ \text{log} $ 在右手側。似乎該論點可能是否定的，因此不應定義。如何解決這個問題？Higham 還聲稱即使參數是隨機變數，泰勒級數展開也是有效的。有沒有辦法讓這個陳述變得嚴謹？
$ \delta t \rightarrow 0 $ 作為 $ n\rightarrow \infty $ . 在那個極限跳到 0 是機率 0 與連續擴散模型。
在離散情況下，它是一種數值可能性，但如果每一步的變異數不太大，則更多的是偽像。
另一方面，如果您模擬跳躍擴散模型，例如破產機率不為 0，那麼您應該考慮這種可能性，因為 $ S_t $ 是 SDE 的吸收狀態。