股票波動率/股票連續複利的波動率公式的解釋是什麼？
我正在自學精算考試，金融經濟學模型。
正如我的手冊中所給定的那樣 $ \sigma $ 是股票的波動率， $ \sqrt{\text{Var}(\ln(S_t/S_0))} $ 並且股票的連續複合收益的波動性由下式給出 $ \sqrt{\text{Var}(\ln(S))} $ .
清楚地 $ \sqrt{\text{Var(X)}} $ 是波動率，但在哪裡 $ \ln(S_t/S_0) $ 和 $ \ln(S) $ 分別來自哪裡？
在沒有證據的情況下還說，如果股票持續支付股息， $ \sqrt{\text{Var}(\ln(S_t/S_0))} = \sqrt{\text{Var}\big(F_{0, t}^p(S)\big)} $ . 即股票的波動率與股票預付遠期的波動率相同。
我希望有人可以提供推導或解釋的參考。
對股票價格過程進行建模的標準起點是使用 Black-Scholes 模型來計算股票價格。這只是斷言股票價格的變化由以下隨機微分方程（SDE）描述
$$ \dfrac{\textrm{d}S}{S} = \mu:\textrm{d}t + \sigma:\textrm{d}W_t $$ 在哪裡 $ W_t $ 是一個標準的布朗運動（它是一個隨機變數），並且通常 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 被取為正常數，（雖然這個假設可以去掉，但最終的結果更複雜）。 解決此問題的標準論據是然後將 Ito 引理應用於該過程 $ \log(S) $ 通過考慮 $ \textrm{d}\big(\log(S)\big) $ . 雖然要正式欣賞細微的細節需要隨機微積分課程。但最終結果是上述 SDE 的解決方案是
$$ S = S_0\exp\left(\left(\mu - \dfrac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W_t\right):. $$ 再次注意 $ S $ 仍然是一個隨機變數（技術上是對數正態隨機變數）。那麼如果我們考慮 $ \log\left(\dfrac{S}{S_0}\right) $ 我們看到 $$ \log\left(\dfrac{S}{S_0}\right)
\left(\mu - \dfrac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W_t $$ 這是一個具有均值的正態分佈隨機變數 $ \left(\mu - \dfrac{\sigma^2}{2}\right)t $ 和標準差 $ \sigma t^{\frac{1}{2}} $ . 然後通常要做的是選擇一個時間尺度，使得 $ t\to1 $ 因此（又名雜訊）的標準差計算為 $ \sigma $ . 否則，我不確定您對支付股息的股票的表示法是什麼，因此無法對此發表評論。
查找任何關於金融衍生品或金融應用隨機微積分的介紹性書籍，這應該更詳細地涵蓋這些問題。
我希望這會有所幫助。