黑色學校
在隨機利率下評估衍生品
我想為期限等於 5 年的歐式期權定價。為此，我使用帶有隨機利率的 Black-Scholes 模型。
假設我為無風險利率選擇 CIR 模型。我的問題是：我應該模擬整個利率期限結構，還是只模擬 5 年期利率？
作為一個附帶問題，哪一個可以被認為是美國 5 年無風險利率的良好代表？
可以指出幾點。
- CIR 模型通常用於短期或瞬時即期匯率 $ r_t $ ，這是無限小區間上的遠期利率。那是， $$ \begin{align*} r_t = \lim_{\Delta \rightarrow 0}\frac{1}{\Delta}\left(\frac{1}{P(t, t+\Delta)}-1 \right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ P(t, u) $ 是當時的價格 $ t $ 到期的零息債券 $ u $ 和單位面值。
- 這 $ T $ -年利率通常是零利率 $ R_T $ ， 被定義為 $$ \begin{align*} P(0, T) = e^{-R_T T},\tag{1} \end{align*} $$ 這不是短期利率。
- Hull-White 模型可能更好，因為可以匹配零利率的初始期限結構，或相應的債券價格。
- 對於具有以下形式的支付的普通歐式期權 $$ \begin{align*} \max(S_T-K, , 0), \end{align*} $$ 該值由布萊克公式給出 $$ \begin{align*} P(0, T)\big[F_TN(d_1) -KN(d_2) \big].\tag{2} \end{align*} $$ 這裡， $ F_T=S_0/P(0, T) $ 是遠期價格， $ d_1 = \frac{\ln F_T/K + \frac{1}{2}\sigma^2 T}{\sigma \sqrt{T}} $ ， 和 $ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} $ . 請注意，在公式 $ (2) $ , 波動率 $ \sigma $ 是布萊克的隱含波動率，通常可以從市場報價中獲得。在這種情況下，隨機利率模型並不是真正需要的。也就是說，只有 $ T $ -年零利率 $ R_T $ 需要計算債券價格 $ P(0, T) $ 按公式 $ (1) $ . 在這裡，就您而言，需要 5 年零利率。然而，我們注意到，如果假設隨機利率，Black 的隱含波動率不同於 Black-Scholes 的隱含波動率。有關詳細說明，請參閱此問題。