半年復合信用利差的正確表達方式？
我熟悉以下形式的（連續複合）信用利差的表達
$$ c(t,T) = -\frac{1}{T-t} \ln \frac{v(t,T)}{p(t,T)}, $$ 在哪裡 $ p(t,T) $ 表示時間 $ t $ 一個的價格 $ T $ -到期無違約債券，以及 $ v(t,T) $ 表示時間 $ t $ 一個的價格 $ T $ -到期可違約債券。使用信用風險模型中的一些標准假設（即違約時間 $ \tau $ 獨立於短期利率 $ r_t $ 過程所以 $ v(t,T)=p(t,T)\left( \delta +(1\color{red}{-}\delta) \mathbb{Q}(\tau > T)\right) $ )，價差可以寫成 $$ c(t,T) = - \frac{1}{T-t} \ln \left( \delta +(1\color{red}{-}\delta) \mathbb{Q}(\tau > T)\right), $$ 在哪裡 $ \delta $ 是恢復率和 $ \mathbb{Q}(\tau > T) $ 可違約債券發行人生存的風險中性機率。 我遇到了“半年復利”價差的以下表達式，由下式給出
$$ c(t,T)=2\left[ (\delta +(1-\delta))\mathbb{Q}(\tau > T)) ^{\color{red}{-}\frac{1}{2T}}-1 \right]. $$ 我不明白這個表達式是如何得出的，有人可以向我解釋一下嗎？在我看來，半年復利點差應該等於差價 $ y_v-y_p $ , 其中產生 $ y_v $ 和 $ y_p $ 通過以下方式隱式給出：
$$ p(t,T)\left( 1+\frac{y_p}{2} \right)^{2T}=1, $$ 和 $$ v(t,T)\left( 1+\frac{y_v}{2} \right)^{2T}=1. $$ 在這種情況下，不應該傳播等於： $$ c(t,T)= 2 \left[ p(t,T)^{-\frac{1}{2T}} \left( 1- \left( \delta +(1+\delta) \mathbb{Q}(\tau > T)\right)^{-\frac{1}{2T}} \right) \right] ? $$ 我很感激對此的任何見解，非常感謝。
這完全取決於您如何定義價差。在連續複利的情況下，您可以定義點差 $ c(t, T) $ 由公式
$$ \begin{align*} v(t, T) = e^{-c(t, T) (T-t)} p(t, T). \end{align*} $$ 而在半年復利的情況下，由公式 $$ \begin{align*} v(t, T) = \left(1+\frac{c(t, T)}{2}\right)^{-2 (T-t)} p(t, T). \end{align*} $$