American-Options
美式期權定價的 Brennan-Schwartz 算法
我正在閱讀Ikonen 和 Toivanen (IT)使用 LU 分解為美國期權定價。
他們參考了 Brennan 和 Schwartz對美式看跌期權的估值，並將其作為使用 LU 分解來解決美式期權的 Black-Scholes “PDI” 離散化過程中出現的線性互補問題 (LCP) 的方法。
在第 9 頁，IT 寫道：
“很明顯，由於期權定價問題的解形式，在反向替換中使用最大函式是可能的。”
這是否意味著修改後的 Brennan-Schwartz 方法與 LCP 完全一致？如果是這樣，我認為這並不明顯。有沒有任何地方可以證明？
在相關的說明中，如果 Brennan-Schwartz 準確地解決了 LCP，那麼為什麼 Wilmott 不在他的“金融衍生品數學”中使用它呢？他專門使用投影連續過度鬆弛 (PSOR)，IT 表明這比使用 LU 分解要慢得多。
Ikonen 和 Toivanen 並沒有說 LCP 是完全解決的，他們只是說修改後的反向替換是解決 LCP 的有效算法。
最佳運動的位置可能會出現數值誤差，因為它不直接落在有限差分網格上。但是，我認為該誤差與空間離散化的順序相同。
順便說一句，PSOR 和修改後的反向替換都在 Elliot 和 Ockendon Weak and Variational Methods for Free Moving Boundary Problems中提出，Ikonen 和 Toivanen 引用了該方法。
PSOR 的興趣是更普遍的：為了應用 Brennan-Schwartz 算法，必須驗證一些單調性條件。因此，對於普通的美式看跌期權或看漲期權來說，它是完全可以的，但對於美式蝶式來說卻不是。