Strike Arbitrage

In Stochastic Volatility Modelling, Chapter 2, the author derived the Dupire equation

[Math Processing Error]$$ \mathbb{E}[\sigma_T^2|S_T = K] = 2\frac{\frac{dC}{dT} + qC +(r-q)K\frac{dC}{dK}}{K^2 \frac{d^2C}{dK^2}}. $$ 作者討論了它的分母：他將分母與蝴蝶策略聯繫起來。然後我無法理解以下部分：

1. 期權市場的套利足夠好，以至於蝶式價差沒有負價格：3 Dupire 公式中的分母為正。
2. 在一個模型中，[Math Processing Error] $ \frac{d^2C(K,T)}{dK^2} = e^{-rT}\mathbb{E}[\delta(S_T - K)] $ ， 在哪裡 $ \delta(\cdot) $ 表示狄拉克δ函式。條件 $ \frac{d^2C(K,T)}{dK^2} > 0 $ 相當於要求市場隱含密度（什麼是隱含密度？）為正。

任何意見和建議將不勝感激！感謝您的時間和幫助！

對於第二個問題：

隱含密度是我們整合看漲期權以匹配市場看漲價格的密度函式，表示為]f這裡。[Math Processing Error] $ f $

因此，忽略折扣因素，答案來自狄拉克三角函式的屬性：

[Math Processing Error]$$ \mathbf{E}[\delta(S-K)] = \int_{-\infty}^\infty \delta(S-K)f(S) dS = f(K) $$ 或者：

$$ C = C(K) = \int_K^\infty (S-K)f(S) dS $$ [Math Processing Error]$$ \frac{\partial C}{\partial K} = \frac{\partial }{\partial K} \left(\int_K^\infty (S-K)f(S) dS \right) $$ [Math Processing Error]$$ = \int_K^\infty \frac{\partial }{\partial K}\left((S-K)f(S)\right)dS - (K-K)f(K) $$ $$ = - \int_K^\infty f(S)dS $$ 然後：

[Math Processing Error]$$ \frac{\partial^2 C}{\partial K^2} = \frac{\partial C}{\partial K} \left( - \int_K^\infty f(S)dS\right) = \left[-f(S)\right]\bigl\vert_{S=K}^{S=\infty} = f(K) $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/55995