將庫存下的 Black Scholes PDE 推導為計價單位
有許多方法可以推導出 Black Scholes PDE。鞅方法是根據特定的度量要求期權價格是無漂移的。下面我使用銀行賬戶作為計價器推導出正確的 PDE，但在使用股票作為計價器時未能獲得正確的 PDE。我希望有人能夠指出我做錯了什麼。
使用銀行賬戶作為計價器推導出 Black Scholes PDE
推導出 Black-Scholes 方程的方法之一是銀行賬戶 $ B_t $ 作為一個計價器，然後要求 $ d\frac{C_t}{B_t} $ 飄忽不定。下面我保持表示時間的下標是隱含的。
具體來說，在這個指標下 $ W_B $ （在哪裡 $ B $ 代表銀行賬戶）
$$ dS=S r dt + S \sigma dW_B \ dB=B r dt $$ 所以我們簡單地得到 $$ \begin{eqnarray} d\frac{C}{B} &=& \frac{\partial_t C dt + \partial_S CdS + \frac{1}{2} \partial_{S,S} CdS^2 }{B}-\frac{CdB}{B^2} \ &=& \frac{\partial_t C + r S\partial_S C + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2\partial_{S,S} C -rC}{B} dt + \frac{\sigma S \partial_S C}{B} dW_B + \mathcal O({dt}^{3/2}) \end{eqnarray} $$ 並要求 $ \frac{C}{B} $ 成為鞅需要消除漂移項，我們得到 Black Scholes PDE： $$ \partial_t C + r S\partial_S C + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2\partial_{S,S} C -rC=0 $$ 嘗試使用股票作為計價來推導 Black Scholes PDE
現在我嘗試做同樣的事情，同時將股票作為計價標準。我會像往常一樣要求 $ d \frac{C}{S} $ 在這個度量下是鞅。在這個措施下，我們有
$$ dS = S(r+\sigma^2) dt + S \sigma dW_S $$ 所以我們得到 $$ \begin{eqnarray} d\frac{C}{S} &=& \frac{\partial_t C dt + \partial_S CdS + \frac{1}{2} \partial_{S,S} CdS^2 }{S}-\frac{CdS}{S^2} + \frac{CdS^2}{S^3} \ &=& \frac{\partial_t C + (r+\sigma^2) S\partial_S C + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2\partial_{S,S} C}{S} dt + \frac{\sigma S\partial_S C dW_S}{S} - \frac{C}{S}\big((r+\sigma^2) dt + \sigma dW_S \big)+\frac{C}{S}\sigma^2 dt +\mathcal O(dt^{3/2}) \ &=& \frac{\partial_t C + (r+\sigma^2) S\partial_S C + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2\partial_{S,S} C -rC}{S} dt + \frac{\sigma S \partial_S C-C}{S} dW_S +\mathcal O({dt}^{3/2}) \end{eqnarray} $$ 現在要求漂移項為零給了我一個額外的期限
$$ \partial_t C + (r+\color{red}{\sigma^2}) S\partial_S C + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2\partial_{S,S} C -rC=0 $$
你錯過了你用來表達的伊藤公式中的交叉導數項 $ d\left ( \frac {C_t}{S_t} \right) $ . 更具體地說（見**$$ Remark $$**以下），
$$ d\left ( \frac {C_t}{S_t} \right) = \frac {1}{S_t} dC_t - \frac {C_t}{S_t^2} dS_t + \frac {C_t}{S_t^3} d\langle S_t, S_t \rangle {\color{green}{- \frac {1}{S_t^2} d\langle C_t, S_t \rangle}} $$ 最後一項的計算結果為
$$ -\partial_S C_t \sigma^2 dt $$ 意思是可以寫：
$$ d\left( \frac{C_t}{S_t} \right) = \frac {1}{S_t} (\partial_t C_t dt + \partial_S C_t dS_t + \frac {1}{2} \partial_{SS} C_t \sigma^2 S_t^2 dt) - \frac {1}{S_t} \left( (r+\sigma^2) C_t dt + \sigma C_t dW_t \right) + \frac {1}{S_t} \sigma^2 C_t dt - \frac {1}{S_t} \partial_S C_t \sigma^2 S_t dt $$ 或等價地在重新安排一些術語之後 $$ d\left( \frac{C_t}{S_t} \right) = \frac {1}{S_t} (\partial_t C_t + r S_t \partial_S C_t + \frac {1}{2} \partial_{SS} C_t \sigma^2 S_t^2 - rC_t ) dt + (.) dW_t $$ 因此，來自鞅表示定理的 Black-Scholes pde。
**$$ Remark $$**這個結果只是來自應用伊藤引理的二維版本
$$ df = (\partial_t f) dt + (\partial_X f) dX_t + \frac {1}{2} (\partial_{XX} f) d\langle X_t \rangle + (\partial_Y f) dY_t + \frac {1}{2} (\partial_{YY} f) d\langle Y_t \rangle + (\partial_{XY} f) d\langle X_t, Y_t \rangle $$ 到函式 $ f (t, X_t,Y_t) = \frac {X_t}{Y_t} $