在 T 之前撞到障礙的機率的 PDE
認為：
$$ d S=\mu S dt+\sigma Sd W $$ $ Q(t,S) $ 是機率 $ S $ 擊中障礙 $ B(S_t<B) $ 前 $ T, $ 然後 $ Q $ 滿足以下
PDE$$ Q_t+\dfrac{1}{2}\sigma^2S^2_{SS}Q+\mu S Q_S=0. $$ 我可以這樣證明嗎Proof:$$ Q(t,S)=\mathbb{P}(\tau_B\leq T) $$ 這裡 $ \tau_B $ 是
first passage time在水平 $ B $ . 然後使用reflection principleWiener 過程：我們有
$$ \mathbb{P}(\tau_B\leq T)=2\mathbb{P}(S_T>B)=2\int^{\infty}_Bp(t,S,T,y)d y $$ 這裡 $ p(t,S,T,y) $ 是
transition function的 $ S_T $ 據Kolmogorov backward equation我們所知$$ p_t+\dfrac{1}{2}\sigma^2S^2p_{SS}+\mu S p_S=0. $$ 然後將導數帶入積分，我們就完成了。 我不確定整個過程是否正確？是否有任何標準方法來計算機率的這種 PDE，因為預設機率也符合這個 pde
可能是我忽略了一些東西，但我相信
$$ \begin{align*} Q(t, S) = \mathbb{P}\left(\tau_{B} \le T \mid \mathcal{F}t\right). \end{align*} $$ 然後 $ {Q(t, S), , 0<t < T} $ 是鞅，PDE 緊隨其後，注意到 $$ \begin{align*} dQ &= Q_t dt + Q_S dS + \frac{1}{2}Q{SS} d\langle S, S\rangle_t\ &=\Big(\underbrace{Q_t + \mu S Q_S + \frac{1}{2}\sigma^2Q_{SS} S^2}_{=0}\Big)dt + \sigma S Q_S dW_t. \end{align*} $$
反射原理 ? 反射原理。
它適用於布朗過程，而不是 GBM。
$$ Reflection principle is quite specific to symmetric random walks $$. 碰巧，如果 $ \mu-\frac{\sigma^2}{2}=0 $ 和 $ \sigma>0 $ ，那麼你有：
$$ \mathbb{P}(\tau^S_B<T)=\mathbb{P}(\tau^W_{\frac{1}{\sigma}\ln(B)}<T) $$你可以應用反射原理。