維納過程的函式滿足哪個偏微分方程u(t,x)在(噸,X)u(t,x)?

假設您有以下功能：

$ u(t,x)=\mathbb{E}[f(xe^{W_t+\frac{1}{2}t})] $ ， 在哪裡 $ W_t $ 是維納過程。

我們先區分一下：

$ du=\mathbb{E}[f’(xe^{W_t+\frac{1}{2}t})(e^{W_t-\frac{1}{2}t}dx+xd(e^{W_t-\frac{1}{2}t}))] $ 並使用布朗運動的一些性質

$ d(e^{W_t-\frac{1}{2}t})=e^{W_t-\frac{1}{2}t}(dW_t-\frac{1}{2}dt+\frac{1}{2}(dW_t)^2)=e^{W_t-\frac{1}{2}t}dW_t $

清楚地， $ \mathbb{E}[f’(xe^{W_t+\frac{1}{2}t})xd(e^{W_t-\frac{1}{2}t})dW_t]=0 $

因此， $ du=\mathbb{E}[e^{W_t-\frac{1}{2}t}f’(xe^{W_t+\frac{1}{2}t})]dx+0 dt $

有人可以告訴我如何找到函式 u 滿足的 PDE 嗎？

既然我們有 $ \frac{\partial\mathbb{E}[u(t,x)]}{\partial t}=0 $ ，無窮小的生成器是：

$ Af(x)=\frac{1}{2}x^2\frac{\partial}{\partial x^2} $

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/39745