用於數值積分的 4 點梯形規則
背景：
這是參考 Mark Joshi 的數學金融 ch.7 問題 11 的概念。
問題：
我們在 Black-Scholes 模型中有： $ S_0 = 1, T = 1, \sigma = 0.1, r = 0 $ . 衍生品支付 $ \cos(S_1) $ 有時 $ 1 $ 如果 $ S_1 $ 在。。。之間 $ 1 $ 和 $ 2 $ . 找出一個隱含的價格 $ 4 $ 點梯形規則數值積分。
現在我明白我們需要評估
$$ \mathbb{E}\left(\cos(S_1)\right) = \int \cos\left(e^{(r - 0.5\sigma^2)T + \sigma\sqrt{T}z})\right)e^{-z^2/2}dz $$ 他的解決方案的奇怪部分是他正在評估這個積分 $ z_1 $ 至 $ z_2 $ 並指出這 $ z_j $ 映射 $ z $ 至 $ j $ 並解決 $ z_1 = 0.05, z_2 = 6.981 $ .
書中的公式說明使用梯形法求解。如果我們想集成一個函式 $ g(x) $ 在一個區間內 $ [a, b] $ 然後我們將區間劃分為 $ N $ 長度相等的碎片。因此我們設置
$$ x_j = a + \frac{j}{N}(b-a) $$ 為了 $ j = 0,\ldots, N $
我看不出任何讀者如何獲取這些資訊並解決 $ z_1 $ 和 $ z_2 $ . 對此的任何建議都非常感謝。
這與梯形規則無關。衍生品支付 $ cos(S_1) $ 如果 $ 1<=S_1<=2 $ . 解決 $ e^{(r-0.5\sigma^2)T+\sigma\sqrt{T}z)}=1 $ 和 $ e^{(r-0.5\sigma^2)T+\sigma\sqrt{T}z)}=2 $ 獲得積分的邊界。