美式看跌期權價格的悖論
假設股票的看跌期權 $ S(t) $ 遵循幾何布朗運動，罷工[KMath Processing Error]和成熟[TMath Processing Error]. 讓我們在時間表示它的價格[tMath Processing Error]經過 $ K $ $ T $ $ t $ $ p(t,S(t)) $ . 現在，通過無套利的考慮，我們可以很容易地看到當時的價格[tMath Processing Error]該期權的價值總是至少是期權本身的內在價值，即以下不等式成立： $ t $
$$ p(t,S(t))\geq (K-S(t))^+ $$ 為了看到這一點，假設例如相反的不等式成立，即 $ p(t,S(t)) < (K-S(t))^+ $ . 如果是這樣，那麼到時候[tMath Processing Error]購買看跌期權，購買股票並行使期權。它導致無風險的利潤 $ t $ $ K-S(t)-p(t,S(t)) >0 $ . 因此，從這個簡單的無套利論證中，我們看到期權的價格必須始終至少是其內在價值。然而，此時我意識到一些奇怪的事情：如果這是真的，我到底為什麼要在到期前行使我的看跌期權？這種不平等似乎表明，當時行使美式看跌期權將是一個不明智的決定[tMath Processing Error]，因此，行使美式看跌期權的唯一正確時間是在到期時，使美式看跌期權類似於歐式看跌期權（與美式看漲期權相同）。 $ t $
然而，我們知道美式看跌期權與歐式看跌期權不同。所以在我的論點中應該有問題……但是，究竟是什麼？
因此，從這個簡單的無套利論證中，我們看到期權的價格必須始終至少是其內在價值。
確實是的
然而，此時我意識到一些奇怪的事情：如果這是真的，我到底為什麼要在到期前行使我的看跌期權？這種不平等似乎表明，當時行使美式看跌期權將是一個不明智的決定[tMath Processing Error]，因此，行使美式看跌期權的唯一正確時間是到期時 $ t $
事實如何 $ P(t,S_t;K,T-t) \geq (K-S_t)^+ $ 讓你得出這個結論？恕我直言，這是一個完全錯誤的推理。
美式期權的價格為：
[Math Processing Error]$$ P(t,S_t;K,T-t) = \text{sup}{\tau \in [t,T]} \mathbb{E}t^\mathbb{Q}\left[ e^{-r(\tau-t)} (K-S\tau)^+ \right] $$ 您觀察到的不等式可以通過拆分停止時間族來獲得[τMath Processing Error]與值 $ \tau $ $ [t,T] $ 使用以下事實 $$ [t,T] = {t}\ \cup\ ]t,T] $$ 然後我們得到， [數學處理錯誤]$$ \begin{align} P(t,S_t;K,T-t) &= \text{sup}{\tau \in [t,T]} \mathbb{E}t^\mathbb{Q}\left[ e^{-r(\tau-t)} (K-S\tau)^+ \right] \ &= \max\left( \underbrace{\text{sup}{\tau=t} \mathbb{E}t^\mathbb{Q}\left[ e^{-r(\tau-t)} (K-S\tau)^+ \right]}{\text{immediate exercise}}, \underbrace{\sup_{\tau \in ]t,T]} \mathbb{E}t^\mathbb{Q}\left[ e^{-r(\tau-t)} (K-S\tau)^+ \right]}{\text{differed exercise}} \right)\ &= \max\left( (K-S_t)^+, \sup{\tau \in ]t,T]} \mathbb{E}t^\mathbb{Q}\left[ e^{-r(\tau-t)} (K-S\tau)^+ \right] \right) \ &= (K-S_t)^+ + \max\left(0, \sup_{\tau \in ]t,T]} \mathbb{E}t^\mathbb{Q}\left[ e^{-r(\tau-t)} (K-S\tau)^+ \right] - (K-S_t)^+ \right) \ &\geq (K-S_t)^+ \end{align} $$ 當持有人必須選擇是否行使時[tMath Processing Error], 他/她應該比較他的期權頭寸的價值 $ t $ $ P(t,S_t;K,T-t) $ 如果他/她立即行使，他/她將獲得回報（內在價值） $ (K-S_t)^+ $ .
$$ \underbrace{(K-S_t)^+}{\text{immediate exercise}} - \underbrace{P(t,S_t;K,T-t)}{\text{option value}} = \max\left( 0, (K-S_t)^+ - \sup_{\tau \in ]t,T]} \mathbb{E}t^\mathbb{Q}\left[ e^{-r(\tau-t)} (K-S\tau)^+ \right] \right) $$ 持有人隨後將行使 $ t $ 如果 RHS 為正，即當且僅當 $$ (K-S_t)^+ \geq \sup_{\tau \in ]t,T]} \mathbb{E}t^\mathbb{Q}\left[ e^{-r(\tau-t)} (K-S\tau)^+ \right] $$ 或等效地，如果內在價值大於持續價值。您會看到，不可能從上述內容中做出諸如“唯一合適的行使時間將是到期”之類的一般性主張。
$$ Edit $$ 讓
$$ \frac{dS_t}{S_t} = rdt + \sigma dW_t^\mathbb{Q} $$ 詳細說明@MJ73550 的評論如果 $ (S_t)_{t\geq 0} $ 是鞅，即如果 $ r = 0 $ ，可以證明，對於任何凸函式 $ \phi $ , $$ \mathbb{E}t\left[ \phi(S\tau) \right] \leq \mathbb{E}_t\left[ \phi(S_T) \right], \ \ \forall \tau: t \leq \tau \leq T $$ 為了看到這一點，我們可以訴諸 Jensen 不等式以及可選停止定理。確實對於所有的停止時間 $ \tau \leq T $ 我們可以寫： [Math Processing Error]$$ \begin{align} \mathbb{E}_t\left[ \phi(S_T) \right] &= \mathbb{E}t\left[ \mathbb{E}\left[ \phi(S_T) \vert \mathcal{F}\tau \right] \right]\ \ \text{(Tower property)}\ &\geq \mathbb{E}t\left[ \phi(\mathbb{E}[S_T \vert \mathcal{F}\tau]) \right] \ \ \text{(Jensen’s inequality)} \ &= \mathbb{E}t\left[ \phi(S\tau) \right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(Optional sampling theorem)} \end{align} $$ 使用這個結果，美式期權的價格，當[Math Processing Error] $ S_t $ 是鞅變成：
[數學處理錯誤]$$ V^{AME}(t,S_t;K,T-t) = \sup_{\tau \in [t,T]} \mathbb{E}t^\mathbb{Q}\left[ \phi(S\tau) \right] = \mathbb{E}t^\mathbb{Q}\left[\phi(S_T)\right] = V^{EUR}(t,S_t;K,T-t) $$ 現在，如果我們考慮這種情況 $ r \leq 0 $ , 庫存過程 $ (S_t){t \geq 0} $ 成為亞鞅，因為在這種情況下：
[數學處理錯誤]$$ \mathbb{E}t[S_T] = S_t \underbrace{e^{r(T-t)}}{\leq 1} \leq S_t $$ 我們應該讓 $ \phi: x \rightarrow e^{-r(\tau-t)}(K-x)^+ $ 它仍然是一個凸函式[數學處理錯誤] $ x $ [數學處理錯誤] [數學處理錯誤] [數學處理錯誤]，我們會看到看跌期權，其中 $ \phi $ 是一個單調遞減函式 $ x $ , 應用與前麵類似的推理表明，在到期前行使美式看跌期權永遠不是最優的 $ T $ .
我認為邏輯鏈應該如下：
我們已經把價值 >= 內在。
因此看跌價值>內在或看跌價值=內在。
如果看跌價值 > 內在價值，則行使權不是最優的。
如果看跌價值 = 內在 ，行使可能是最佳的。因此沒有矛盾。