關於 Black&Scholes 模型中的對數返回
我目前正在研究 Black&Scholes 模型，但我不確定以下事情：對數返回，比如 r，沒有及時演變？我的意思是，dr/dt = 0，它的導數為零？是否只有它的平均值隨時間變化，即 d average(r)/dt = something？謝謝你。
讓我試著回答。在 Black-Scholes 模型中，我們對股票價格有以下動態 $ S_t $ :
$$ S(t)=S(0)+\int^{t}{0}r S(h)dh+\int^{t}{0}\sigma S(h)dW(h) $$
上面的簡寫符號是：
$$ dS_t= r S_t dt+\sigma S_tdW_t $$
這兩個方程是同一件事（只是兩個不同的符號），兩者的解都是對數正態過程：
$$ S_t = S_0exp{(rt+0.5\sigma^2t+ \sigma W(t)}) $$
日誌返回定義為 $ ln\left(\frac{S_t}{S_0}\right) $ ，所以我們可以很容易地看到：
$$ ln\left(\frac{S_t}{S_0}\right)=rt+0.5\sigma^2t+ \sigma W(t) $$
您可以看到日誌返回正態分佈，均值 $ =rt+0.5\sigma^2t $ 和標準差 $ =\sigma \sqrt(t) $ （為什麼？因為根據定義 $ \sigma W(t) $ 正態分佈，均值為零，標準差等於 $ \sigma \sqrt(t) $ ) .
因此，對數回報本身隨時間演變：它是一個隨機過程，通常圍繞其（時間相關）均值分佈，並且具有（時間相關）標準偏差。如果你在 xy 軸上繪製對數回報，y 是時間，x 是對數回報，你可以把它想像成一條有斜率的直線 $ rt $ 其中對數返回的正態分佈以該直線為中心。隨著時間的推移，這條線周圍的正態分佈的標準偏差越來越寬。