亞洲期權-計價的變化
假設無風險債券 $ B_t $ 和股票 $ S_t $ 遵循 Black & Scholes 模型的動態
沒有股息（利率為 r，股票漂移 $ \mu $ 和波動性 $ \sigma $ ）。顯示 $ S_{u;T} := \frac{S_{u}}{S_T} $ 根據措施 $ Q^S $ （以股票為計價單位）可以寫成 $ exp{(-r-\frac{\sigma^2}{2})(T-u)+\sigma\hat{W}_{T-u}} $ 在哪裡 $ \hat{W}_t $ 為了 $ t\in[0,T] $ 具有相同的維納過程定律 $ Q^S $ 措施。
我被困在如何解決這個問題上。非常感謝您的幫助。
讓 $ \mathbb{Q} $ 是使用無風險銀行賬戶的風險中性機率測度 $ (B_t) $ 作為計價器。一般來說， $ \mathrm{d}B_t=r_tB_t\mathrm{d}t $ . 在 Black-Scholes 環境中， $ r_t\equiv r $ ， 我們有 $ B_t=e^{rt} $ .
庫存量度 $ \mathbb{Q}_S $ 使用複合股價 $ S_te^{qt} $ 作為 numeraire 並通過 Radon Nikodym 導數定義 $$ \begin{align*} \frac{\mathrm{d} \mathbb{Q}_S}{\mathrm{d}\mathbb{Q}}(t) &= \frac{B_0}{B_t}\frac{S_te^{qt}}{S_0} \ &= \frac{1}{e^{rt}}\exp\left(\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t+\sigma W_t\right)e^{qt} \ &=\exp\left(-\frac{1}{2}\sigma^2t+\sigma W_t\right) \ &= \mathcal{E}\left(\sigma W_t\right), \end{align*} $$
使用它 $ \mathrm{d}S_t=(r-q)S_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t $ . 回顧 $ (W_t) $ 是一個標準的布朗運動 $ \mathbb{Q} $ . 使用Girsanov 定理，我們知道 $ \mathbb{Q}_S\sim\mathbb{Q} $ 並且這個過程 $$ \begin{align*} \hat{W}_t &=W_t-\sigma t \end{align*} $$ 是一個標準的布朗運動 $ \mathbb{Q}_S $ .
所以，我們總結 $$ \begin{align*} S_{u,T} &= \frac{S_u}{S_T} \ &= \exp\left(\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)u+\sigma W_u -\left(\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T+\sigma W_T\right)\right) \ &= \exp\left(\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(u-T)-\sigma (W_T-W_u)\right) \ &= \exp\left(\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(u-T)-\sigma \left(\hat{W}T +\sigma T -\left(\hat{W}u+\sigma u\right)\right)\right) \ &\overset{d}{=} \exp\left(-\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-u)-\sigma \big(\hat{W}{T-u}+\sigma(T-u)\big)\right) \ &= \exp\left(-\left(r-q+\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-u)-\sigma \hat{W}{T-u}\right) \ &\overset{d}{=} \exp\left(-\left(r-q+\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-u)+\sigma \hat{W}_{T-u}\right). \end{align*} $$