Black-Scholes 方程 - 無風險投資組合推導
以下是維基百科 ( http://en.wikipedia.org/wiki/Black-Scholes_equation#Derivation ) 上給出的 Black-Scholes 方程推導的摘要 - 我有一個關於指定投資組合假設的問題自籌資金。
我們有兩個資產市場：
$ dB_t = B_t r dt $
$ dS_t = S_t (\mu dt + \sigma dW_t) $
我們引入了一個帶有價格的歐式期權 $ v(t,S_t) $ 有時 $ t $ . 我們現在考慮一個由一個期權組成的投資組合，並且 - $ \frac{\partial v}{ \partial S} $ 股票。因此，如果 $ X_t $ 是我們當時的財富 $ t $ , 我們必須有 $ X_t = v(t,S_t) - \frac{\partial v}{ \partial S} S_t $ .
然後聲稱我們有 $ dX_t = dv(t,S_t) - \frac{\partial v}{ \partial S} dS_t $ ，因為投資組合是自籌資金的。
然而，在我看來，如果我們在我們的投資組合中持續持有 1 個期權，那麼使整個投資組合自籌資金的唯一方法就是也持續持有股票（否則，如果我們增加/減少我們的持有股票，這額外的資金從哪裡來？）。
通常，我所看到的自籌資金投資組合的建構方式是沒有明確指定持有一項資產（例如，無風險資產），而是由自籌資金條件（即 $ X_t = \pi_t \cdot P_t $ 和 $ dX_t = \pi_t \cdot dP_t $ ， 在哪裡 $ \pi $ 是投資組合和 $ P_t $ 是價格過程 - 這給出了未指定持有量的線性方程）。
基於上述，似乎為了擁有一個自籌資金的投資組合，我們持有一個恆定的 1 期權，並且 $ - \frac{\partial v}{ \partial S} $ 股份，我們還必須動態持有無風險資產，這使我們能夠確保我們始終能夠擁有 $ - \frac{\partial v}{ \partial S} $ 在不注入外部資金的情況下參與我們的投資組合（從而打破自籌資金條件）。然而，如果我們確實在我們的投資組合中也持有這種無風險資產，那麼我們的財富過程方程（ $ X_t = v(t,S_t) - \frac{\partial v}{ \partial S} S_t $ ) 變得不正確，因為我們沒有考慮我們持有的無風險資產。
總之，我不相信 1 個選項的投資組合和 $ -\frac{\partial v}{ \partial S} $ Black-Scholes 方程的維基百科推導中指定的股份是自籌資金的，但推導利用了以下事實：
$$ i $$是$$ /i $$自籌資金。我錯過了什麼嗎？ 編輯：
如果投資組合由 1 個期權和 $ -\frac{\partial V}{\partial S} $ 股份是自籌資金，那麼我們有以下幾點：
$ X_t = V(t,S_t) - \frac{\partial V}{\partial S}S_t $ （財富過程的定義）
$ dX_t = dV(t,S_t) - \frac{\partial V}{\partial S}dS_t $ （因為假設投資組合是自籌資金的）
$ dX_t = dV(t,S_t) - d(\frac{\partial V}{\partial S}S_t) $ （簡單地通過微分的定義）
將上述第二個和第三個等式的 RHS 相等給出：
$ dV(t,S_t) - \frac{\partial V}{\partial S}dS_t = dV(t,S_t) - d(\frac{\partial V}{\partial S}S_t) $
所以 $ \frac{\partial V}{\partial S}dS_t = d(\frac{\partial V}{\partial S}S_t) $ .
在 RHS 上使用 Ito 引理給出： $ \frac{\partial V}{\partial S}dS_t = d(\frac{\partial V}{\partial S})S_t + \frac{\partial V}{\partial S}dS_t + d<\frac{\partial V}{\partial S},S>_t $ .
所以 $ d(\frac{\partial V}{\partial S})S_t + d<\frac{\partial V}{\partial S},S>_t = 0 $ . (*)
現在， $ d(\frac{\partial V}{\partial S}) = \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t} dt + \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} dS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^3 V}{\partial S^3}d<S>_t $ .
所以 $ d<\frac{\partial V}{\partial S},S>_t = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}S_t^2 \sigma^2 dt $ .
將這些插入 (*) 給出：
$ \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t} dt + \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} dS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^3 V}{\partial S^3}d<S>_t + \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}S_t^2 \sigma^2 dt = 0 $ .
所以 $ \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t} dt + \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} dS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^3 V}{\partial S^3}\sigma^2 S_t^2 dt + \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}S_t^2 \sigma^2 dt = 0 $ .
係數 $ dS_t $ 必須為零，所以 $ \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = 0 $ ， 所以 $ V(t, S) = f(t) + Sg(t) $ . 我們可以在這一點上停下來，因為我們知道我們不能滿足邊界條件 $ v(T,S) = \max(0,S-K) $ ，因此我們假設我們可以用由 1 個期權和 $ -\frac{\partial V}{\partial S} $ 股票是錯誤的。
但請注意，係數 $ dt $ 也必須為零，因為我們已經有了 $ \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = 0 $ ，這給出 $ \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t} = 0 $ . 自從 $ V(t, S) = f(t) + Sg(t) $ ，這意味著 $ g $ 是恆定的。所以 $ \frac{\partial V}{\partial S} $ 是恆定的，正如我在下面的評論中所聲稱的那樣 - 即為了使其成為一個自籌資金的投資組合，股票的持有量必須是恆定的。
您說得對，顯示 BS 投資組合的自籌資金狀況並不像人們想像的那麼簡單：
投資組合 $ V_t(\alpha_t,\beta_t) $ （用於庫存 $ S_t $ 和零債券 $ B_t $ ) 是自籌資金當且僅當：
$$ V_t=\alpha_tS_t+\beta_t B_t $$ 它進一步暗示
$$ dV_t=\alpha_tdS_t+\beta_tdB_t $$ 複製衍生品 $ C(S_t,t) $ 通過股票和債券的自籌資金組合，設置：
$$ dV_t=dC_t $$ 的動態 $ dC $ 可以使用 Ito 的引理指定 $ C(S_t,t) $ :
$$ dC=\partial_tCdt+\partial_sCdS+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}Cdt=\partial_SCdS_t+(\partial_tC+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}C)dt $$ 接下來假設 $ C $ 滿足 BS-PDE：
$$ \partial_tC+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}C=rC-rS_t\partial_S C $$ 將其插入 $ dC $ :
$$ dC=\partial_SCdS_t+(C-S_t\partial_SC)rdt $$ 現在我們進一步了解了債券動態 $ dB_t=B_trdt $ ， 所以：
$$ dC=\partial_SC\cdot dS_t+\left(\frac{C_t}{B_t}-\frac{S_t}{B_t}\partial_SC\right)\cdot dB_t $$ 最後，前面的係數 $ dS_t $ 和 $ dB_t $ 正是自籌資金的投資組合權重：
$$ \left(\alpha_t=\partial_SC,,\beta_t=\dfrac{C_t}{B_t}-\dfrac{S_t}{B_t}\partial_SC\right) $$
顯示： $ X:=(1,-\partial_SC) $ 是一個自籌資金的投資組合：
$$ X\text{ self-financing}\leftrightarrow dX_t=adC_t+bdS_t,\forall t\geq0 $$ 讓 $ C(S_t,t)\in C^2 $ ，然後由伊藤公式：
$$ dC=\partial_tCdt+\partial_sCdS+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}Cdt=\partial_SCdS_t+(\partial_tC+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}C)dt $$ 讓 $ C(S_t,t) $ 以折扣形式滿足 BS-PDE：
$$ \partial_tC+\frac{1}{2}\partial_{SS}C\sigma^2S^2=0 $$ （未打折的形式是 $ \partial_tC+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\partial_{SS}C=rC-rS\partial_S C $ ).
插入：
$$ dC=\partial_SCdS $$ 所以我們得到：
$$ dX=adC+bdS=1dC-\partial_SCdS=\partial_SCdS-\partial_SCdS=0,,\forall t $$ 所以我們有一個滿足自籌資金條件的無風險投資組合。(qed)