Black-Scholes 評估股票價格的平方
考慮 Black-Scholes 模型 $ S_t = 5\exp{(\sigma W_t + \mu t)} $ , $ B_t = \exp{(rt)} $ ， 在哪裡 $ W_t $ 是關於給定測度的布朗運動 $ \mathbb{P} $ .
假設您持有一份遠期合約 $ X $ , 支付 $ T=3 $ ， 價值 $ X = (S_3)^2 $ 終端時間股票價格的平方。
計算合約的價值 $ X $ 有時 $ t=0 $ .
解釋無套利條件如何與您的答案相關。
我以前問過類似的問題，但現在我很困惑 $ S_t $ 是平方的。非常感謝任何建議。
讓
$$ dS_t=r S_tdt+\sigma S_t dW^{\mathbb{Q}}t\tag 1 $$ 在哪裡 $ S_0=5 $ . 放 $ X_t=S_t^2 $ . 應用伊藤引理，我們有 $$ dX_t=\left(2r+\sigma^2\right)X_tdt+2\sigma^2X_tdW^{\mathbb{Q}}t\tag 2 $$ 換句話說 $$ X_T=X_0+\left(2r+\sigma^2\right)\int{0}^{T}X_t dt+2\sigma^2\int{0}^{T}X_t dW^{\mathbb{Q}}t\tag 3 $$ 因此 $$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}{0}[X_T]=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[X_T]=X_0+\left(2+\sigma^2\right)\int_{0}^{T}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[X_t] dt\tag 4 $$ 因此 $$ d,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[X_T]=\left(2r+\sigma^2\right)\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[X_T]\tag 5 $$ 所以 $$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[X_T]=25,e^{(2r+\sigma^2)T}\tag 6 $$ 最後，我們有 $$ \Pi(0)=e^{-r(T-0)}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[X_T]=25,e^{(r+\sigma^2)T}\tag 7 $$