從二叉樹推導 Black & Scholes 公式 - John C. Hull

我正在閱讀 John C. Hull 的“期權、期貨和其他衍生品”，在附錄第 13 章中，他從二叉樹中推導出了 BSM 公式。

當他建構 U2 時，我只是不明白如何得到方程 13A.5。

使用哪種方法來獲得它，為什麼“a”（等於定義為向上運動量的“J”）可能被用作隨機變數？

問候，

在布萊克斯科爾斯公式中 $ N(\alpha) $ 給你累積機率，即隨機選擇的出現的機率低於 $ \alpha $ .

要將變數的分佈轉換為標準正態分佈，請減去均值並除以標準差。在公式 13A.5 之前的段落中，均值是 $ np $ 標準差是 $ \sqrt{np(1-p)} $ .

所以：

• $ N(\alpha) $ 給你累積機率 $ \alpha $ 在正態分佈中，即隨機選擇的機率低於 $ \alpha $
• $ N\left(\frac{\alpha - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) $ 給你累積機率 $ \alpha $ 在標準正態分佈中

但是因為你想要的是隨機選擇的機率高於 $ \alpha $ （而不是低於），即 $ 1 - N(x) $ ，您可以使用正態分佈是對稱的事實，只需使用 $ N(-x) $ .

將此邏輯應用於上述案例將為您提供所需的內容：

$ U_2 = N\left(-\frac{\alpha - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) = N\left(\frac{np - \alpha}{\sqrt{np(1-p)}}\right) $

此外，請注意，對於足夠多的試驗，二項式模型的價格只會收斂到 Black Scholes 價格。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/54913