布萊克-斯科爾斯公式噸噸T- 前向測量
歐式看漲期權的Black-Scholes 價格由下式給出 $$ C_0^{BS}(T, K) = \mathbb{E}Q[e^{-rT}(S_T - K)+] = S_0 \Phi(d_1) - Ke^{-rT}\Phi(d_2) , $$
在哪裡 $$ d_{1,2} = \frac{\log\big(\frac{S_0}{K}\big) + (r\pm \frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}, $$
和下屬 $ S_t $ 下有以下動態 $ Q $ :
$$ dS_t = rS_tdt + \sigma S_t dW^Q_t $$
我熟悉這個公式的推導。在不同的衡量標準下是否有類似的定價公式？特別是，我擔心 $ T $ - 前向措施， $ Q^T $ .
例如，如果我想為具有價值的衍生品定價 $$ C_0(T, K) = P(0, T) \mathbb{E}{Q^T}[(S_T - K)+], $$ 我可以推導出一個類似的 Black-Scholes 公式嗎？
這是我的嘗試：
鑑於 $ \frac{dQ^T}{dQ} = \frac{1}{P(0, T)B(T)} $ ，然後在 Black-Scholes 假設下（恆定短期利率） $ \frac{dQ^T}{dQ} = 1 $ . 因此，動力學 $ S_t $ 在下面 $ Q^T $ 是： $$ dS_t = rS_tdt + \sigma S_t dW^{Q^T}t $$ 然後，可以模仿 Black-Scholes 公式的證明： $$ \begin{align} C_0(T, K) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{-\infty}^{\infty}(S_0\exp{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma\sqrt{T}z} - K)_+ e^{-\frac{z^2}{2}} \end{align} $$ 那麼，被積函式只有在 $$ z > \frac{\log{\frac{K}{F}} + \frac{1}{2}\sigma^2 T}{\sigma \sqrt{T}} := -\tilde{d_2} $$ 在哪裡 $ F = S_0e^{rT} $ . 我將跳過其餘的證明，因為它與 Black-Scholes 公式推導基本相同。這產生
$$ C_0(T, K) = P(0, T) [F \Phi(\tilde{d_1}) - K\Phi(\tilde{d_2})] $$
在哪裡 $$ \tilde{d}_{1,2} = \frac{\log\big(\frac{F}{K}\big) \pm \frac{1}{2}\sigma^2T}{\sigma \sqrt{T}}. $$
這看起來正確嗎？
是的，你是對的：你找到的公式就是所謂的黑色公式。
這表明，在 Black-Scholes 的恆定利率假設下，在風險中性度量下或在 $ T $ -forward 度量是完全相同的。
但是，當利率是隨機的時，您不知道 $ B_T = e^{\int_0^T{r_t \mathrm{d} t}} $ 並在下面工作 $ Q $ 您必須在期望範圍內計算整個積分，並且很難找到封閉形式的解決方案；使用數值方法並不容易。
但是，您確實知道 $ P(0, T) $ 和遠期價格 $ \frac{S_t}{P(t, T)} $ 是鞅。注意它的擴散項是 $ \sqrt{\sigma^2 + \sigma_P^2 - 2 \rho \sigma \sigma_P} $ ; 因此，您需要估計債券價格波動 $ \sigma_P $ 和現貨債券相關性 $ \rho $ ，然後可以使用更簡單的封閉形式解決方案 $ Q^T $ -措施。