布萊克斯科爾斯在分紅的情況下
讓我們以標的股票具有連續股息收益率的情況為例 $ \delta $ . 那麼，在風險中性的世界裡， $ \frac{dS}{S}=(r-\delta)dt+\sigma dW^Q $ . 假設我們想為標的股票的衍生品定價。實現它的標準方法是通過使用衍生品和股票的組合來創建無風險投資組合，應用伊藤計算所述投資組合的微小變化，並將其增長率等同於無風險利率。
$ \begin{align*}\pi=C-\Delta S\implies d\pi=dC-\Delta dS-(\delta\Delta) Sdt\=C_tdt+C_{S}dS+\frac{C_{SS}}{2}\sigma^2S^2dt-\delta\Delta Sdt-\Delta dS\end{align*} $
如果我們選擇 $ \Delta=C_S $ ，那麼所有隨機項都會消失，我們會得到-
$ d\pi=C_tdt+\frac{C_{SS}}{2}\sigma^2S^2dt-\delta\Delta Sdt=\pi rdt $ . 取消 $ dt $ 在兩邊，重新排列我們得到了在股息情況下的布萊克-斯科爾斯方程——
$ C_tdt+\frac{C_{SS}}{2}\sigma^2S^2+(r-\delta)C_{S}S-rC=0 $ .
我的問題是關於擴展 $ dS $ 在第一步。如果我們持有 $ -\Delta $ 股票，那麼我們不應該使用股票的總回報過程，即 $ S’=Se^{\delta t} $ ? 使用伊藤， $ \frac{dS’}{S’}=rdt+\sigma dW^Q $ 和 $ d\pi=dC-\Delta dS’ $ 和 $ dS’\neq dS+\delta Sdt $ .
我在哪裡錯了？
持有數量 $ \Delta $ 股票在一個無限小的時期 $ dt $ 給你：
- $ \Delta \times dS $ : 股票退貨結束 $ dt $
- $ \Delta S \times \delta \times dt $ : 連續收取股息 $ dt $
對沖是持有一個數量 $ \Delta $ 股票，不是 $ \Delta $ 的總回報過程。如果要考慮總收益過程，對沖比率會有所不同，等於 $ \Delta e^{-\delta t} $ :
$ \frac{\partial C}{\partial S^{’}} = \frac{\partial C}{\partial S} \times \frac{\partial S}{\partial S^{’}} = \Delta \times e^{-\delta t} $
使用任一 $ S $ 或者 $ Se^{\delta t} $ 將給出相同的結果、相同的 PDE、相同的套期保值率，直至變數發生變化 $ S \leftrightarrow S’ $