“Black-Scholes 模型意味著平坦的隱含波動率圖”？
我是金融初學者，我對“Black-Scholes 模型意味著平坦的隱含波動率圖”的說法感到困惑
這是該聲明的一種形式：（Dan Stefanica，150 個最常見的 Quant Interviews 問題，3.3.12）
“在同一資產上，報價具有多個行使價和到期日的期權的價格，並且可以計算每個期權的隱含波動率。如果資產的價格具有對數正態分佈 - 正如 Black-Scholes 模型中假設的那樣 - 那麼隱含波動率與罷工的結果圖將是平坦的”
但是，在推導 BS 的過程中，波動率肯定是不變的嗎？這是一個假設，而不是“具有對數正態分佈的資產價格”的結果？
這是我困惑的另一個例子，這次來自這篇論文http://www.columbia.edu%2F~mh2078%2FBlackScholesCtsTime.pdf
據我了解，在 Black-Scholes 模型中，我們固定 K，T，我們假設 $ \exists \sigma=\sigma(K,T) $ 對於那些 K,T 我們提出了上面的 BS 公式
BS 推導中沒有任何假設 $ \exists \sigma, \forall K,T …. $ ?
關於您的第二個問題：請記住，布萊克/斯科爾斯首先為基礎資產的動態假設了一個隨機模型——具有恆定擴散係數的幾何布朗運動 $ \sigma $ . 這個資產定價過程應該是相同的，無論你想基於它來評估什麼選項。說你允許不同的值 $ \sigma $ 對於不同的行使價或到期日，本質上意味著您對每個普通期權使用不同的模型，這是不一致的，並且肯定不是他們最初想到的。
關於你的第一個問題：隱含波動率 $ \hat{\sigma}(T, K) $ 是常數擴散係數的值，它導致布萊克/斯科爾斯價格等於某些觀察到的市場價格。很明顯，如果所有的市場價格 $ (T, K) $ 使用具有共同波動率的 Black/Scholes 模型計算 $ \sigma^* $ ，那麼您將恢復與隱含波動率相同的值 $ \hat{\sigma}(T, K) = \sigma^* $ 因此波動率表面平坦。同樣，這固定 $ \sigma^* $ 導致對數正態分佈的價格。因此，如果給定期限的終端現貨價格的隱含密度呈對數正態分佈，則相應的隱含波動率微笑將是平坦的。