Black Scholes PDE 邊界條件

所以我試圖使用有限差分模型來求解布萊克斯科爾斯方程，但我得到的答案是錯誤的，我無法理解為什麼。

這是 K = 100.0、r = 0.12 和 sigma = 0.10 的選項的結果

左側高於應有的高度，並且應該開始平坦，但右側相當接近。這是我正在求解的方程：

$$

• \frac{\partial}{\partial t} V(t,s) + r\ s\ \frac{\partial}{\partial s} V(t,s) + \frac{1}{2}\ \sigma^2\ s^2\ \frac{\partial^2}{\partial s^2} V(t,s) - r\ V(t,s) = 0 $$

這是一個將解決方案與離散公式中的值圖進行比較的圖表，藍線是正確的值，黃線是我得到的。這是 t=1 的到期時間

def euro_call_sym(S, K, T, r, sigma):
   N = Normal('x', 0.0, 1.0)
   d1 = (sympy.ln(S / K) + (r + 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * sympy.sqrt(T))
   d2 = (sympy.ln(S / K) + (r - 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * sympy.sqrt(T))

   call = (S * cdf(N)(d1) - K * sympy.exp(-r * T) * cdf(N)(d2))
   return call

為了生成我的結果，我沒有使用任何邊界條件，在右側邊緣的一個點上使用一側的左導數，在其餘位置上使用居中的導數。

有誰知道什麼邊界條件可以解決圖表左側的行為？

不確定問題是否歸結為邊界條件 - 可能還有很多其他問題，但看漲期權最簡單形式的邊界條件是：

• 對於非常大的 S： $ V\left(t,S\right) \approx S $
• 對於非常小的 S： $ V\left(t,S\right) \approx 0 $

對於看跌期權，等效邊界條件為：

• 對於非常大的 S： $ V\left(t,S\right) \approx 0 $
• 對於非常小的 S： $ V\left(t,S\right) \approx K e^{-r(T-t)} $

每個的初始條件只是到期時的期權收益。

順便說一句，您還可以將時間倒轉，在這種情況下，通過設置也很容易擺脫可變係數 $ x=\ln S $ ，然後可以將方程轉換為熱方程，這是相對容易處理的有限差分。

我後來解決了這個問題，問題是我在左邊使用的前嚮導數。對於其他嘗試做類似事情的人來說，我成功的關鍵如下：

• 右側的諾依曼邊界條件（或單點的單向反嚮導數）
• 填充左側，使 V 從 0 開始
• 來自魔術答案的邊界條件

這是我的結果（K=100，r=12%，sigma=10%）

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/53958