Black-Scholes PDE 導數間隙
Black-Scholes 公式的大多數推導最終都具有以下一些（對沖）投資組合的動態：
$$ \int_{t=0}^{T} \left(\frac{\partial f}{\partial \tau}(S(t),t)+\frac{1}{2}\cdot\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(S(t),t)\cdot\sigma^2\cdot S(t)^2\right) ,dt $$
從那時起，他們認為這個過程在當地是沒有風險的。
**第一個問題：**既然這個積分可以定義為路徑黎曼積分，那麼是什麼阻止我使用正確的黎曼和來定義它？在這種情況下，我看不出它怎麼會沒有風險。
然後，作者宣布該投資組合應獲得無風險利率，因此他們得到以下恆等式：
$$ \int_{t=0}^{T} \left(\frac{\partial f}{\partial \tau}(S(t),t)+\frac{1}{2}\cdot\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(S(t),t)\cdot\sigma^2\cdot S(t)^2\right) ,dt = \int_{t=0}^{T} \left(r\cdot\left(V(S(t),t)-\frac{\partial f}{\partial x}(S(t),t)\cdot S(t)\right)\right) ,dt $$
很公平。然而，基於此，他們假設積分內的表達式在 t 時刻都相等。
**第二個問題：**為什麼這是真的？
謝謝你。
**編輯：嘗試回答第二個問題：**身份實際上是：
$$ \int_{t=0}^{\lambda} \left(\frac{\partial f}{\partial \tau}(S(t),t)+\frac{1}{2}\cdot\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(S(t),t)\cdot\sigma^2\cdot S(t)^2\right) ,dt = \int_{t=0}^{\lambda} \left(r\cdot\left(V(S(t),t)-\frac{\partial f}{\partial x}(S(t),t)\cdot S(t)\right)\right) ,dt $$
對所有人 $ 0\leq \lambda \leq T $
所以括號內的函式相等對所有人都成立 $ 0\leq t \leq T $ .
Ito 過程表示唯一性指出，如果 $$ \int_0^t Y_u du + \int_0^t Z_u dW_u = 0 $$ 對所有人 $ T\geq t\geq 0 $ ， 然後 $$ Y = Z = 0 $$
幾乎可以肯定（又名一組措施 $ 0 $ ).
在你的情況下，你可以採取 $ Z $ 成為 $ 0 $ 和 $ Y_u:=g(S_u,u) $ ， 在哪裡 $ S $ 是你的伊藤程序和 $ g $ 是由以下定義的確定性函式：
$$ g(x,t) := (\partial_2 V)(x,t) +0.5 (\partial_{11} V)(x,t)\sigma^2 x^2 - r(V(x,t)-(\partial_1 V)(x,t)x). $$
如果 $ g $ 是連續的，然後我們得到 $ g(x,t)=0 $ 對所有人 $ x $ 和 $ t $ （處處為空）通過使用以下事實：對於隨機變數 $ X $ 具有嚴格的正密度，如果 $ l $ 是連續的，使得 $ l(X)=0 $ 作為，那麼 $ l=0 $ （到處）。
關於你的第一個問題；我認為沒有什麼能阻止你，甚至存在一些接近的東西。在不涉及所有技術細節（我不是這方面的專家）的情況下，進行隨機積分的相反方法，而不是使用 Ito 積分，被稱為Stratonovich 積分。
與您使用正確黎曼和的方法類似，Stratonovich 積分不適用於金融，因為它需要未來的資訊。選擇 Ito 積分的一個原因是，積分可以用直到某個時間點之前已知的所有過程資訊來計算。給定相同的資訊集，Ito 積分可以和您的方法無法計算，因為它在未來需要至少一個過程值。
關於你的第二個問題；這是由於無套利條件。我將以稍微不同的符號為您提供完整的推導，我認為這會更容易理解。
考慮投資組合 $ P $ 帶有歐式選項 $ C(t, S(t)) $ 和 $ \Delta $ 股票價格 $ S(t) $ , $$ P(t, S(t)) = C(t, S(t)) - \Delta S(t) $$ 按照 Black-Scholes 方法，假設利率不變 $ r $ 讓風險資產 $ S(t) $ 跟隨有漂移的幾何布朗運動 $ r $ 和不斷的波動 $ \sigma $ , $$ dS(t) = r S(t) dt + \sigma S(t) dW(t), $$ 在哪裡 $ W(t) $ 是風險中性測度下的布朗運動 $ \mathbb{Q} $ . 寫 $ C\equiv C(t, S(t)) $ , $ P \equiv P(t, S(t)) $ 和 $ S \equiv S(t) $ . 這個投資組合的變化，在一個無窮小的時間間隔內 $ t + dt $ 將會， $$ dP = dC - \Delta dS $$ 由伊藤引理可知， $$ \begin{align} dC = \frac{\partial C}{\partial t} dt + \frac{\partial C}{\partial S} dS + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} (dS)^2 \end{align} $$ 將此結果代入投資組合收益率演變的方程中， $$ dP = \frac{\partial C}{\partial t} dt + \left(\frac{\partial C}{\partial S} - \Delta \right) dS + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} (dS)^2 $$ 這是關於投資組合風險的論證（您的第一個問題的一部分）。注意 $ (dS)^2 = \sigma^2 S^2 dt $ （我把推導留給你）。因此，由布朗運動產生的唯一風險因素來自於 $ S(t) $ . 因此，設置， $$ \Delta = \frac{\partial C}{\partial S}, $$ 即銷售 $ \frac{\partial C}{\partial S} $ 股票，將消除由於投資組合中的布朗運動引起的風險。這種現象稱為 delta 對沖。因此，投資組合的變化由下式給出 $$ dP = \left(\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} S(t)^2 \sigma^2 \right) dt $$ 這是關於你的第二個問題的部分。假設投資組合的增長超過無風險資產的增長，即 $ dP > r P dt $ . 當時 $ t $ ，我們賣出無風險資產並買入投資組合。請注意，我們的投資策略不需要任何初始資金。由於投資組合的增長超過無風險投資組合的增長，我們及時賣出投資組合 $ t + dt $ 並回購無風險資產。此外，我們保留來自策略的利潤。結果，我們創造了套利，因此 $ dP > r P dt $ 不可能是真的。類似的論點適用於 $ dP < r P dt $ ，我把它留給你。因此，我們必須有 $$ dP = r P dt $$ 結合這兩個結果產生， $$ \left(\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} S^2 \sigma^2 \right) dt = r P dt = r (C - \Delta S) dt $$ 除以 $ dt $ 並使用已知的表達式 $ \Delta $ 產生 Black-Scholes 表達式； $$ \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} S^2 \sigma^2 + rS\frac{\partial C}{\partial S} - rC = 0 $$
希望對你有幫助。