Black Scholes PDE 離散化
我們可以通過像 Euler 這樣的數值方法來求解 Black Scholes PDE $$ \begin{equation} \frac{\partial V}{\partial t} + rS\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}-rV=0 \end{equation} $$ 為了做到這一點，我們需要離散化庫存空間。一個簡單的方法是設定一個潛在的股票價格範圍，然後統一劃分。
我的困惑是，在這個過程中，標的股票價格的分佈，即， $ dS_t=rS_tdt+\sigma dW $ ，似乎只是確定空間網格範圍的因素。所以到達每個空間網格的機率不會影響 PDE 解。但另一方面，如果股票價格遵循另一個過程，即使分佈具有相似的範圍，期權價格肯定會發生變化。我在這裡想念什麼？
假設一個足夠“寬而密”的採樣點網格 $ (S_i,t_j), i=0..N, j=0..M $ , $ S_i=S_{low}+i\Delta S $ , $ t_j=j\Delta t $ . 鑑於編碼在 $ v_{i,M} $ 和一些邊界條件 $ j=M $ ，從 $ j=M $ 向後，值方程的顯式遞歸數值近似方案然後沿著
$$ v_{i,j}=\alpha v_{i-1,j+1}+\beta v_{i,j+1}+\gamma v_{i+1,j+1} $$
在哪裡 $ \alpha,\beta,\gamma $ 是由底層過程的參數定義的一些權重，即 $ r,\sigma $ ，以及您選擇的離散化步長 $ \Delta S,\Delta t $ . 由於您已經“修復”了一些方法和（明智的）離散化，因此參數 $ \alpha,\beta,\gamma $ 完全由基礎過程驅動——這就是影響期權價格的因素。
那有幫助嗎？