前向對數空間中的 Black Scholes PDE
在 BS 世界中，我們在日誌空間中有庫存過程 $ dS_t=(r-\frac{1}{2}\sigma^2)dt+\sigma dW $ . 假設我們要定價 $ f(t,x)=\mathbb{E}_{t,x}[h(S(T)] $ . 使用 Feynman-kac，我們得到 $$ \begin{equation} \frac{\partial f}{\partial t} + (r-\frac{1}{2}\sigma^2)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-rV=0 \end{equation} $$
另一方面，如果我們考慮前向過程（同樣在日誌空間中） $ F_t=S_t+r(T-t) $ , 我們有正向過程 $ dF_t=-\frac{1}{2}\sigma^2 dt+\sigma dW $ 價格變成 $ f(t,y)=\mathbb{E}_{t,y}[h(F(T)] $ . 再次使用 FK，我們得到 $$ \begin{equation} \frac{\partial f}{\partial t} - \frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}-rV=0 \end{equation} $$
不知何故，我無法通過直接更改變數將第一個 PDE 轉換為第二個 $ S_t $ 至 $ F_t $ . 自從 $ y=x+r(T-t) $ ，通過鍊式法則， $ \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y} $ ，即一階與二階相同。所以我最終得到 $$ \begin{equation} \frac{\partial f}{\partial t} +(r-\frac{1}{2}\sigma^2)\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}-rV=0 \end{equation} $$ 這顯然是錯誤的，我不知道為什麼。
最好使用不同的符號。所以首先 $$ f(t,x) := E_t (h(S_T)) $$ 和 $$ g(t, y) := E_t (h(F_T)). $$ 自從 $ S_T = F_T $ , 絕不能套利 $$ g(t,y) = f(t,x) = f(t, y - r(T-t)). $$
這意味著 $$ \frac{\partial g}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial t} + r \frac{\partial f}{\partial x}. $$ 正如你已經指出的那樣 $$ \frac{\partial g}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial x}. $$ 使用這個和滿足的 PDE $ f $ 然後，您將獲得以下 PDE $ g $ : $$ \frac{\partial g}{\partial t} -\frac12 \sigma^2 \left( \frac{\partial g}{\partial y} - \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}\right) = rg $$