Black-Scholes：為什麼要關注波動性？
我們知道 Black-Scholes 是一個不完美的期權定價模型。為什麼對其缺陷的分析如此多地集中在隱含波動率上？同一股票的 IV 同時變化的事實證明 BS 是錯誤的（並且不能通過使波動率與時間相關來修復）。也證明了 $ \sigma $ 實際上不是股票價格的標準差，而只是一些用於調整結果的捏造因素。
為什麼所有的注意力都集中在這個軟糖因素上？一旦你知道模型有缺陷，我認為你應該回到繪圖板上，看看如何修改 BS pde 的推導以獲得更複雜的模型。但相反，文獻中的大部分注意力似乎都集中在如何控制軟糖因素上（德曼有 12 次關於微笑的講座），好像 BS 方程是從天而降的，而我們作為凡人的工作只是提供 midrashim他們。
我個人的看法是，人們對著名的取消 $ \mu $ 在 BS pde 中。畢竟這是給諾貝爾獎委員會留下深刻印象的，所以一定是對的。但是，Black & Schole 最初使用資產定價理論的推導和 Merton 後來的自籌資金投資組合論點都是對現實世界的極大過度簡化，與 Sveriges Rijksbank 相反，Black、Scholes 和 Merton 並沒有表明“……事實上，在評估期權時沒有必要使用任何風險溢價”。
默頓的論點在數學上越複雜，但也越不穩健和靈活。在現實中永遠不會接近持續自籌資金的投資組合：即使 IT 使持續方面可行，自籌資金方面將始終被消耗在交易費用中。但是資產定價的論點可以很容易地被修改以允許更大的靈活性。
解釋波動性微笑的合乎邏輯的第一步應該是回頭看，而不是做出導致取消的輕率假設 $ \mu $ 在資產定價論證中。這立即在模型中引入了一個額外的參數，該參數比 IV 軟糖因素更有意義，並且實際上可能能夠解釋大部分微笑。例如，您可能會得到一個修改後的 BS pde，例如
$$ rV=\mu S {\partial V \over \partial S} + {\partial V \over \partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2{\partial^2 V \over \partial S^2}, $$ 這導致定價公式發生了類似的適度變化。 正如您現在毫無疑問地推斷出的那樣，我不是專家。這些想法是否已經被探索並發現不足？
首先，請允許我指出您可能存在的兩個重大誤解：
- 隱含波動率 (IV) 是任何普通期權定價模型（不僅僅是對定價影響最大的 Black Scholes (BS)）的輸入。您可以通過翻閱不同的風險敞口（希臘和高階敏感性）和研究均值來驗證這一點此類風險因素的波動性及其對此類期權定價的影響。
- 為期權定價和買入/賣出實際上交易未來的交易者實現了標的資產回報的波動性/預期變化。因此，期權交易者表達對這種未來資產價格變化的看法，從而買賣波動性。在我看來，“隱含”波動率這個術語有點用詞不當，因為交易以商定的波動率水平開始，而不是期權價格。
（事實上，你幾乎沒有聽到任何專業交易者就期權價格達成一致，他們通常會就他們交易的確切隱含波動率達成一致，並且通常還會將 delta 與期權一起交易（至少在股票空間中），以便在開始時選擇 delta 對沖。）
期權定價模型用於轉換錶達的 IV -> 價格。當您在交易螢幕上看到期權價格時，這些是自動定價應用程序的輸出，這些應用程序的輸入包括其他幾個主要靜態變數，IV。
因此，您將 IV 視為“軟糖因素”的觀點非常簡單。事實上，在期權中交易的大多數東西都是 IV。（當然，您還有其他期權輸入，但您會交易特定的股息掉期或利率衍生品，例如，如果您想表達對此類輸入的看法）。期權價格只是為了支付所交易的隱含波動率而進行的轉換。
並且：僅僅因為期權定價模型不完善並不意味著它一文不值。事實上，我挑戰你想出一個與 BS 一樣簡單（計算和直覺）和更準確的替代模型，我相信市場會接受它並感謝你的努力。
編輯：
我強烈建議閱讀以下簡短的論文：期權定價問答
隱含的 Black-Scholes 波動率不僅僅是公式中的一個參數，它可以被捏造以產生一個合理的價格。當在 Black-Scholes 中對沖期權頭寸時，每日損益與已實現減去隱含變異數成正比。由此可見，隱含波動率對應於市場參與者在其預測上投入貨幣賭注對已實現波動率的共識預測。
Nicole El Karoui 在她 1998 年的論文中稱其為“Black-Scholes 的強韌性”，Rolf Poulsen 在其 2015 年的論文中稱其為“衍生品交易的基本定理”。短期期權交易者（也稱為“伽瑪交易者”）不斷將隱含波動率與他們自己的預測進行比較，並持有（delta 對沖）期權頭寸以實現他們對波動率的看法。基於這些考慮，Bruno Dupire 得出了許多重要的結果。
在上個月布魯諾 60 歲生日之際，我在 Rio 就這個話題和一些重要的應用做了一個簡短的介紹。展示文稿已錄製並在 YouTube 上找到：https ://www.youtube.com/watch?v=-YiAMxjOKHg 。展示幻燈片可在 SlideShare 上找到：https ://www.slideshare.net/AntoineSavine/60-years-birthday-30-years-of-ground-break-innovation-a-tribute-to-bruno-dupire-by-安托萬-薩文。我還在哥本哈根大學波動率講座的第一部分提出了這些想法，幻燈片也在 SlideShare 上：https ://www.slideshare.net/AntoineSavine/lecture-notes-from-volatility-modelling-lectures-at-哥本哈根大學