Black-Scholes 模型下亞洲期權的邊界條件
我正在看 Kemna 和 Vorst 的論文：
基於平均資產價值的期權定價方法。見http://www.javaquant.net/papers/Kemna-Vorst.pdf
讓 $ \text{d}S_t = S_tr\text{d}t + S_t\sigma\text{d}W_t $ . 讓 $ t_0 \leq t \leq T $ ， 定義 $ A(t)=\frac{1}{T-t_0}\int^T_{t_0}S_\tau\text{d}\tau $ .
亞洲期權獲得了回報 $ (A(T)-K)^+ $ . 讓 $ C(s,a,t) $ 是時候 $ t $ 為亞洲期權定價 $ S(t)=s, A(t)=a $ . 本文在第 5 頁頂部聲稱
$ \lim\limits_{s\rightarrow\infty}\frac{\partial C(s,a,t)}{\partial s}=\frac{T-t}{T-t_0}e^{-r(T-t)} $ ，但這不是我到達的。
這是我的啟發式/非嚴格推導。什麼時候 $ S(t) $ 足夠大，那麼你幾乎肯定會賺錢。然後
期權的價值應該大約是 $ C(a,s,t) = e^{-r(T-t)}\bigg((a-K)+\mathbb E\bigg(\frac{1}{T-t_0}\int^T_tS_\tau\text{d}\tau\bigg)\bigg)= e^{-r(T-t)}\bigg((a-K)+\bigg(\frac{s}{r(T-t_0)}(e^{r(T-t)}-1)\bigg)\bigg) $ .
（這與論文中的（15）一致，甚至）
所以我計算導數為 $ \frac{1}{r(T-t_0)}(1-e^{-r(T-t)}) $
該論文所說的似乎是我的答案的時間導數，請參見（13）。這篇經典論文是我弄錯了還是有錯誤？
你的分析是正確的。從風險中性過程
$$ dS_t = rS_tdt + \sigma S_tdW_t $$ 我們得到
$$ \mathbb{E}(S_\tau|\mathbb{F}_t) = S_te^{r(\tau-t)} $$ 和
$$ \mathbb{E}(\int_{t}^{T}S_\tau d\tau|\mathbb{F}_t) = \frac{S_t}{r}[e^{r(T-t)}-1] $$ 因此，如 $ S \rightarrow \infty $
$$ C(S,A,t) \sim \frac{S_te^{-r(T-t)}}{r(T-T_0)}[e^{r(T-t)}-1] = \frac{S_t}{r(T-T_0)}[1-e^{-r(T-t)}] \texttt{ —EQ (1)} $$ 和
$$ \lim_{S \rightarrow \infty} \frac{\partial C}{\partial S}=\frac{e^{-r(T-t)}}{r(T-T_0)}[e^{r(T-t)}-1]. \texttt{ —EQ (2)} $$ 最有可能的是，作者使用了截斷的泰勒近似
$$ e^{r(T-t)}-1 \approx r(T-t) $$ 獲得
$$ \lim_{S \rightarrow \infty} \frac{\partial C}{\partial S}=\frac{T-t}{T-T_0}e^{-r(T-t)} . $$ 因此，尚不清楚論文中出現的表達是否存在疏忽或意圖。
然而，兩種形式的邊界條件或多或少都是有效的。沒有某種近似形式的亞洲選項沒有封閉形式的解決方案，這可能使邊界條件的兩種形式的差異無關緊要。此外，如果解決方案是通過數值求解 PDE 得出的，那麼遠場邊界條件的應用必須在截斷域的邊界處實現——數值誤差再次將比邊界條件中的任何差異更重要。