計算時間 t=0 的價格
假設無風險債券 Bt 和股票 St 遵循 Black & Scholes 模型的動態（利率為 r，股票漂移 $ \mu $ 和波動性 $ \sigma $ ).
計算當時的價格 $ t = 0 $ 期限為 T 和收益的衍生品 $ (S^3_t-K)^+ $ . 我知道我需要使用 Black Scholes 公式來計算看漲期權的價格以找到衍生品的價格，但該公式還包含 $ N(d_1) $ 和 $ N(d_2) $ 那麼這將如何受到影響？
我不明白這個問題，但我可以試試。我認為問題在於找到有回報的或有債權的價格 $ (S_T^3 - K)^+ $ . 眾所周知的定價公式是： $$ \begin{equation} \pi(t)=\mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{-r(T-t)}(S_T^3 - K)^+|\mathcal{F}_t] \end{equation} $$ 現在放 $ Y=S^3 $ , 通過使用伊藤引理 $$ \begin{equation} dY(t)=dS^3(t)=3S^2(t)dS(t) + \frac126S(t)\sigma^2S^2(t)dt \end{equation} $$ 在布萊克-斯科爾斯模型中 $$ \begin{equation} dS(t)=\mu S(t) dt + \sigma S(t) dW(t) \end{equation} $$ 所以我們有： $$ \begin{equation} dY(t)=3\mu S^3dt + 3\sigma^2S^3dt + 3\sigma S^3dW=(3\mu + 3\sigma^2)Ydt + 3\sigma YdW \end{equation} $$ 現在我們定義 $$ \begin{align} \tilde{\mu}&=3\mu + 3\sigma^2 \ \tilde{\sigma}&=3\sigma \end{align} $$ 現在假設 $ Y $ 是有漂移的新股 $ \tilde{\mu} $ 和波動性 $ \tilde{\sigma} $ 並且只需用 Black-Scholes 公式代替具有基礎的歐式期權 $ Y $ 並罷工 $ K $ .