從貼現曲線計算短期利率
我目前正在查看一些實現 Hull-White 模型的程式碼。作為輸入之一，程式碼接受不同日期的折扣因子表。
該程序的一個步驟是計算初始短期利率 $ r $ . 我決定，在沒有復雜的平滑技術的情況下，最好的估計 $ r $ 是
$$ r = - \frac{\ln(0.9998843333803)}{0.003}\text{.}\tag{1} $$
但是，在我之前編寫程式碼的人做了一些非常不同的事情。他們有時首先計算收益率 $ t=0.003 $ 和 $ t=0.083 $ :
$$ \text{Yield}(.003) = \frac{1.0 - 0.9998843333803}{.003 \cdot 0.9998843333803}\tag{2} $$和 $$ \text{Yield}(0.083) = \frac{1.0 - 0.9968031327369}{0.083 \cdot 0.9968031327369}\text{.}\tag{3} $$
然後程序作者使用線性插值來計算短期利率 $ r $ :
$$ r = \frac{\text{Yield}(0.083) - \text{Yield}(.003)}{0.083 - .003} (0 - .003) + \text{Yield}(.003)\text{.}\tag{4} $$
該值接近估計值 (1)。
我需要對原始程序員在編寫程式碼時的決策過程進行逆向工程。我對此有幾個問題：
- 顯示 (1) 中的估計值是對短期利率的良好估計嗎？
- 顯示 (4) 中的估計是對短期利率的良好估計嗎？在我看來，他們“推斷收益率以獲得’時間 0’的收益率的近似值”。我不確定為什麼這應該是 Black-Scholes/HW 設置中的短期利率。
- 作者必須選擇線性插值而不是顯示 (1) 中的方法的原因是什麼？
為簡單起見，假設您的時間 $ 0.003 $ 等於 1 天，你的第二個支柱（可能 $ 0.083 $ 代替 $ 0.00833 $ ) 等於 1 週。
你做什麼：用 1 天利率近似短期利率。
他們的工作：利用有關短期收益率曲線形狀的額外資訊，即從前兩個可用支柱（即 1d 和 1w）向下**推算到短期利率節點。注意：他們用mmencke 的評論中的收益率插值來確定短期利率。
正如您所觀察到的，對於大多數實際情況，那裡不應該有太大的差異。那麼問題是你是否相信短期**即期匯率的短期形態資訊。就個人而言，我會使用等式（1）中的 1 天支柱。
我認為你的方法是準確的。
讓市場漲價 $ P^M(0,T) $ 某些期限的零債券 $ T_1,…,T_m $ . 讓 $ P^M(0,T_0)=1 $ 為了 $ T_0=0 $ . 零債券的市場價格應計算為 $ t \in [T_i,T_{i+1}] $ 和 $ 0 \leq i \leq m $ 使用對數線性插值 $$ ln P^M(0,t)=lnP^M(0,T_i)+\frac{t-T_i}{T_{i+1}-T_i}*(lnP^M(0,T_{i+1})-lnP^M(0,T_i)) $$ 我們計算瞬時遠期匯率 $ f^M(0,t) $ 作為左導數如下 $$ f^M(0,t)=-\lim_{\Delta\to 0} \frac{lnP^M(0,t+\Delta)-ln P^M(0, t)}{\Delta} $$ 然後使用我們的插值函式，我們得到： $$ f^M(0,t)=- \frac{lnP^M(0,T_{i+1})-ln P^M(0, T_i)}{T_{i+1}-T_i} $$ 用我們得到的數據代替我們所擁有的 $$ f^M(0,0)=- \frac{lnP^M(0,0.003)-ln P^M(0, 0)}{0.003} $$ $$ f^M(0,0)=- \frac{lnP^M(0,0.003)}{0.003}=r(0) $$
因為我們知道 $ f^M(0,0)=r(0) $
參考：Vladimir Ostrovski，Hull-White 模型的高效和精確模擬