為 BS 方程複製投資組合中的現金存款是否不必要？
我目前研究的關於期權估值方法的書（Higham 2013）建構了一個可複制的投資組合 $ \Pi = A(S,t)S + D(S,t) $ 用於推導 BS PDE，其中 $ D $ 是現金存款。 $ D $ 沒有出現在 Black-Scholes 方程中，它在方程的推導中也不是必不可少的，那麼為什麼還要麻煩將它包含在我們的投資組合中呢？
海厄姆確實說過：“我們想讓投資組合自籌資金，也就是說，在時間 t=0 之後，我們不想增加或減少資金。這可以通過使用現金賬戶為更新後的資金提供資金來實現 $ - $ 資產重新平衡所需或產生的資金。”所以他只使用 $ D $ 給予額外的直覺？
編輯 例如； $ \Pi=V-\Delta S $ 也是推導 BS PDE 的有效投資組合。
這裡的關鍵是投資組合必須是自籌資金的，即初始期權溢價 $ V_0 $ 應該足以讓您在其整個生命週期中對沖它。如果不是，期權價格 $ V_0 $ 太低或太高。
因為期權是寫在資產上的 $ S $ , 買入或賣出 $ S $ 是你如何抵消期權價值的變化：例如，如果你做多一個看漲期權並且你需要對沖它，你知道如果資產價格上漲，它的價值會增加，因此你需要做空資產一個數量 $ \Delta $ 抵消你獲得的收益 $ V $ 什麼時候 $ S $ 上升，反之亦然。
但是，持有資產的價值 $ \Delta S $ 不會總是完美地抵消期權的價值 $ V $ . 存款賬戶 $ D $ 允許您匹配事物：如果您需要修改您的持股，您可以撤回或貢獻它 $ \Delta S $ 為了中和運動 $ V $ .
這是因為期權是非線性衍生品：遠期等線性衍生品只需要對標的資產進行對沖，因為資產的價格變動對衍生品價格有線性影響，但是對於期權，我們知道價格有對底層證券變化的非線性行為。例如，如果您做多看漲期權，您有： $$ \lim_{S\rightarrow+\infty}\Delta(S)=1 $$ 因此，如果資產價格上漲，我們需要能夠從存款中提取現金以繼續增加我們的分配 $ \Delta $ 為了對沖 $ V $ .
有多種方式來表達對沖投資組合，但它們都可以歸結為以下形式的等式： $$ a(t,S)V+b(t,S)S+c(t,S)D=0 $$ 即一個位置 $ a(t,S) $ 在一個選項中 $ V $ 需要用資產對沖 $ S $ 以一定數量購買或出售 $ b(t,S) $ ; 任何所需的額外融資 $ c(t,S) $ 必須按一定利率借入或借出 $ r $ .
最後，請注意投資組合 $ V-(\Delta S+D)=0 $ 您在編輯中提到會產生正確的 PDE ，但不是自籌資金：請參閱我的答案Dynamic Delta Hedging And a Self Financing Portfolio。確實，假設在某個時候 $ t $ 您需要更改分配 $ \Delta $ : 錢從哪裡來？您需要分配一個係數 $ D $ 以便對存款的任何提款/貢獻抵消資產分配的任何變化：
$$ V-\big(b(t,S)S+c(t,S)D\big)=0 $$