從沒有 vol 輸入的期權價格計算 delta
甚至可以不訴諸梯度下降方法嗎？我看不出有任何方法可以圍繞 d1 和 d2 中涉及的累積正態函式進行代數推理。
有任何想法嗎？
在大多數（所有？）實際情況下，Delta 是一個依賴模型的度量；你需要一個模型來計算它。Black-Scholes, Heston, … 每個模型都有一個（看漲）期權價格公式 $ C $ 及其三角洲 $ \Delta $ ，並且每個模型都依賴於一組契約固定的參數（行使價、到期日 $ T $ )，準可觀察量（基礎水平 $ S $ ，參考利率）和不可觀察（隱含的波動率等）輸入。
另一方面，Delta 被定義為偏導數，它可以近似為：
$$ \begin{align} \Delta &\equiv \frac{\partial O}{\partial S}\ &\approx\frac{O(S_t+dS,t)-O(S_t,t)}{dS}\ &\approx \frac{O(S_{t+dt},t+dt)-O(S_t,t)}{S_{t+dt}-S_t} \end{align} $$
第一個近似是導數的有限前向差分近似（當然會引入一個錯誤），第二個近似會引入另一個錯誤，因為我們無法再確定成熟時間。因此，給定期權價格的時間序列和相應的基礎水平時間序列，我們可以在某種程度上近似 delta。
隨著價格大幅上漲，近似值的質量急劇下降 $ |dS=S_{t+1}-S_t|\gg0 $ , 時間增量較大 $ dt\gg0 $ ，當然，當成熟的時間“很小”時。
對於 Black Scholes Merton 模型，這是一個具有模擬大小的快速而粗略的模擬 $ n=1,000 $ 對於每個組合。周圍的錯誤統計 $ err=\ln(\hat{\Delta_t}/\Delta_t) $
S X r IV ttm dt Delta_true avg(err) q05(err) q95(err) 100 100 .05 .20 255 1 0.6368 -0.001 -0.052 0.053 100 100 .05 .20 255 5 0.6368 -0.003 -0.12 0.10 100 100 .05 .20 100 1 0.5867 -0.005 -0.10 0.09 100 100 .05 .20 100 5 0.5867 -0.007 -0.20 0.18 90 100 .05 .20 100 5 0.2670 -0.02 -0.40 0.32如您所見，這種近似的質量可能會迅速惡化……