delta對沖失敗
謝謝你回答我！
當我最近測試一些產品的 delta 對沖時，我得到了其中一些產品的 20% 的損益結果。
首先，我認為實施不正確。但我找不到徹底的錯誤。
在深入研究我的（回溯）測試數據後，我發現即使對於像“普通看漲期權”這樣的簡單產品，delta 對沖也可能不夠。
這是一個範例（收益 = (S(T) - K )+）：（T = 20 天，K =50.5，（假設：Black-Scholes 模型））
小號：
第 0 天 = 50 ；
第 1 天 = 50.5；
第 2 天 = 50.3 ；
… ;
第 15 天 = 52.7 ；
第 16 天 = 49.3 ；
第 17 天 = 37.5 ；
第 18 天 = 36.4 ；
第 19 天 = 36.8；
第 20 天 = 37.7。
我每天都重新平衡，因為第 17 天價格大幅下跌，並且因為我的 delta 接近 1，我損失了很多錢（贖回價幾乎是 0，而我的投資組合大約是 -15），造成了很大的損益.
所以，我的問題是：
1/ 是否正確：“對於連續數據（和連續對沖），delta 對沖是可以的。價格跳躍不使用 delta 對沖進行對沖”..？
2/ 假設我們每天不能對沖一次以上，並且在我的數據中有經常性（有幾個）價格下跌，你對對沖有什麼建議？
非常感謝，紀堯姆
關於你的第一個問題，跳躍確實是無法對沖的。從理論的角度來看，您可能想看看 Merton 的“當基礎股票收益不連續時的期權定價”，這是改編 Black-Scholes 框架以包含跳躍的原始論文。如果你看第 7 頁，就在等式之後 $ (9) $ :
不幸的是，在跳轉過程中， $ dq $ , 的回報
$$ hedging $$文件夾$$ … $$不會沒有風險。此外，檢查$$ equation $$ $ (7c) $ 表明不存在一組投資組合權重$$ … $$這將消除“跳躍”風險$$ … $$. $$ … $$ 注意：投資組合的回報是一個“純”跳躍過程，因為股票的連續部分和期權價格變動已被“對沖”掉。
因此，關於問題 2，您可以例如增加對沖投資組合重新分配的頻率，以接近純粹的持續交易；但即使在那裡，如果你假設一個 Merton 框架，你仍然會面臨跳躍風險。
編輯：跳躍風險是不可對沖的，因為沒有可交易資產允許對沖它。例如，赫斯頓最初的隨機波動率模型是不完整的（與默頓的一樣），因為波動率風險無法對沖。但是，如果您在模型中包含波動率衍生工具，那麼波動率風險就可以對沖。如果您擁有可以對沖跳躍風險的可交易資產，那麼“模型”將是完整的，您可以對沖風險。
編輯 2：我正在寫下與您的評論相關的一些額外想法*“$$ … $$銀行如何對沖其（例如）長期結構性產品$$ … $$?* “@StudentInFinance。
回到默頓的文章，考慮方程 $ (10) $ :
$$ \frac{dP}{P} = \left(\alpha_P - \lambda k_P \right)dt + dq $$ $ \frac{dP}{P} $ 是對沖投資組合（股票、期權和零息債券）的回報， $ \alpha_P $ 它的瞬間回歸， $ \lambda $ 每單位時間的平均跳躍次數， $ k_P $ 如果發生跳躍，投資組合價值的預期百分比變化和 $ q $ Poisson過程建模跳躍。
關鍵特徵是默頓認為投資組合的隨機跳躍部分與市場無關。強調我的：
股票價格的總變化被假定為兩種變化的組合：（1）價格的“正常”波動，
$$ … $$. (2) 價格的“異常”波動是由於有關股票的重要新資訊的到來，這些資訊對價格的影響超過了邊際效應。通常，此類資訊將特定於公司或可能是其行業。 $$ … $$ $$ … $$股票價格動態被描述為兩個組成部分的結果：連續部分$$ … $$跳躍部分反映了對股票具有瞬時、非邊際影響的重要新資訊。如果後者的資訊通常是確定的 $$ … $$ 具體而言，那麼它可能對一般股票（即“市場”）影響不大。$$ … $$ 如果跳躍的來源是這些資訊，那麼股票收益的跳躍成分將代表“非系統性”風險，即跳躍成分與市場無關。
現在，考慮某家投資銀行在 2 種不同的股票價格上持有 2 種不同的期權， $ S_t^{(1)} $ 和 $ S_t^{(2)} $ ，具有不同的跳躍風險來源。每個對沖投資組合的回報將是：
$$ \begin{align} & R_1 \equiv \frac{dP_1}{P_1} = \left(\alpha_{P,1} - \lambda_1 k_{P,1} \right)dt + dq_1 \[12pt] & R_2 \equiv \frac{dP_2}{P_2} = \left(\alpha_{P,2} - \lambda_2 k_{P,2} \right)dt + dq_2 \end{align} $$ 因此：
$$ \mathbb{C}\text{ov}\left[R_1,R_2\right] = \mathbb{C}\text{ov}[dq_1,dq_2] $$ 根據默頓的評論，我們可以假設：
$$ \mathbb{C}\text{ov}[dq_1,dq_2]=0 $$ 因此，讓 $ \sigma_i^2 \equiv \mathbb{V}\text{ar}[R_i] $ , $ i \in {1,2} $ ，這兩個投資組合的銀行收益變異數為 $ - $ 如果按比例持有 $ w_1, w_2 $ 它的總書，這樣 $ w_1, w_2>0 $ 和 $ w_1+w_2=1 $ :
$$ \mathbb{V}\text{ar}\left[w_1R_1+w_2R_2 \right] = w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 < w_1\sigma_1^2 + w_2\sigma_2^2 $$ 您會看到一些“多元化效應”開始發揮作用：賬面風險低於每個單獨投資組合的加權風險。通過在您的投資組合中包含額外的（不相關的）跳躍風險來降低非系統性風險，因此基於這種解釋，銀行通過在多個股票基礎上發行期權，“自然”地對沖了部分跳躍風險。