從 Black Scholes 模型推導 Call Delta
call delta 是如何從 Black Scholes 模型（沒有近似值）數學推導出來的？請幫助我從數學上理解每一步。以及如何近似地說 delta 是期權在貨幣中到期的機率？
在這裡查看公式的詳細推導 $ \Delta $ （請注意，此特定網站使用 $ r_d $ 表示無風險利率和 $ r_f $ 表示股息收益率）。您始終可以就推導中的特定步驟尋求更具體的幫助。
很容易看出 $ \mathbb{Q}[{S_T\geq K}]= \Phi(d_2) $ . 只需更換 $ S_T=S_0\exp\left(\left( r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T +\sigma\sqrt{T}Z\right) $ 在哪裡 $ Z\sim N(0,1) $ 並隔離 $ Z $ 在左手側。這是到期 ITM 的風險中性機率。注意 $ \Delta=\Phi(d_1)=\Phi(d_2+\sigma\sqrt{T})\approx \Phi(d_2) $ . 這是因為 $ \sigma\sqrt{T} $ 通常非常小。
這是布萊克-斯科爾斯三角洲的數學推導。
BS模型下的看漲期權價格為 $$ C = S_0 N(d_1) - e^{-rT} K N(d_2) \quad\text{with}\quad d_{1,2} = \frac{\log(S_0,e^{rT}/K)}{\sigma\sqrt{T}} \pm \frac12 \sigma\sqrt{T}, $$ 在哪裡 $ N(x) $ 是標準正態的 CDF。
使用屬性， $$ \frac{\partial d_1}{\partial S_0} = \frac{\partial d_2}{\partial S_0} = \frac{1}{S_0\sigma\sqrt{T}} $$ 和 $$ \begin{gather*} d_1^2 - d_2^2 = (A+B)^2 - (A-B)^2 = 4AB = 2\log(S_0,e^{rT}/K)\ \quad\text{where}\quad A = \frac{\log(S_0,e^{rT}/K)}{\sigma\sqrt{T}} \quad\text{and}\quad B = \frac{\sigma\sqrt{T}}{2}, \end{gather*} $$ 我們區分 $ C $ 相對於現貨價格 $ S_0 $ : $$ \begin{align*} D &= \frac{\partial C}{\partial S_0} = \frac{\partial}{\partial S_0}\left( S_0 N(d_1) - e^{-rT} K N(d_2) \right) \ &= N(d_1) + S_0 n(d_1) \frac{\partial d_1}{\partial S_0} - e^{-rT} K n(d_2) \frac{\partial d_2}{\partial S_0} \ &= N(d_1) + \frac{n(d_1)}{\sigma\sqrt{T}} \left( 1 - e^{(d_1^2-d_2^2)/2}\frac{K}{S_0e^{rT}} \right) \ &= N(d_1) + \frac{n(d_1)}{\sigma\sqrt{T}} \left( 1 - \frac{S_0e^{rT}}{K}\cdot\frac{K}{S_0e^{rT}} \right) = N(d_1). \end{align*} $$