從 Delta 近似公式推導 Gamma 近似公式
的公式 $ Gamma = (Vplus + Vminus - 2V0)/(V0 * dS^2) $ ， 在哪裡
- $ V $ 是合約價值，
- $ S $ 是股票價格。
我們也知道 $ Gamma = (Dplus-Dminus)/(Splus-Sminus) $ ， 在哪裡
- $ D $ 是合約 Delta，
- $ Splus = S0 + dS $ ,
- $ Sminus = S0 - dS $ ,
- $ Dplus = (Vplus - V0)/(V0 * dS) $ ,
- $ Dminus = (V0 - Vminus)/(V0 * dS) $ .
替代 $ Dplus $ , $ Dminus $ , 並替換 $ Splus-Sminus $ 和 $ 2dS $ 我們得到：
$ (Vplus + Vminus - 2V0)/(V0 * dS)/2dS = (Vplus + Vminus - 2V0)/(V0 * 2 * dS^2) $
我一定是做錯了什麼，因為書中的公式中沒有1/2 。
請你幫我推導一下好嗎？
（歡迎來到 Quant SE。看起來你還沒有決定你的震驚是否是 $ dS $ 或者 $ S_0dS $ . 還， $ V_0 $ 不屬於分母。你大概是說 $ S_0 $ . 下次訪問時請嘗試在本網站上使用 Latex。）
最好從帶餘數的泰勒定理開始，以使自己相信這些有限差分方案的有效性：
$$ V(S+dS)= V(S)+V’(S)dS+\boxed{\frac{1}{2}V’’(S)(dS)^2}+ \frac{1}{6}V’’’(S_1)(dS)^3 $$
對於一些 $ S_1\in (S, S+dS) $ $$ V(S-dS)= V(S)-V’(S)dS+\boxed{\frac{1}{2}V’’(S)(dS)^2}-\frac{1}{6}V’’’(S_2)(dS)^3 $$ 對於一些 $ S_2\in (S-dS, S) $
然後我們得到（注意盒子裡的兩半會確保沒有 $ 2 $ 在最終分母中）：
$$ \frac{V(S+dS)+V(S-dS)-2V(S)}{(dS)^2} = V’’(S)+ \frac{1}{6}(V’’’(S_1) + V’’’(S_2))dS $$
最後我們讓 $ dS \rightarrow 0 $ .
更換 $ dS $ 經過 $ SdS $ 到處，我們還得到：
$$ \frac{V(S+SdS)+V(S-SdS)-2V(S)}{S^2(dS)^2} \approx V’’(S), $$
對於小 $ dS $ .