Black-Scholes 模型中的漂移率與無風險率
今年夏天我正在教一門應用數學課，我想繞道走一圈金融（根本不是我的專業）；特別是股票走勢的布萊克-斯科爾斯模型。我希望我的學生能夠模擬股票走勢並創建一些有趣的圖表。但我自己仍然有幾個基本的問題。
如果我有這個權利，改變 $ \Delta S $ 在一個小的時間間隔內的股票價格 $ \Delta t $ 被假定為
$ \Delta S = \mu S \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \varepsilon S $
在哪裡 $ \mu = \text{drift rate} $ , $ \sigma = \text{volatility} $ （常數），和 $ \varepsilon $ 是公平的硬幣翻轉導致 $ 1 $ 和 $ -1 $ （我更喜歡這個增量方程而不是隨機方程，我不喜歡 Ito 的引理等等）。 $ S_T $ ，當時的股價 $ T $ , 那麼 (對於固定 $ \Delta t $ ) 隨機變數
$ S_T = S_0 \left(1+\mu \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \right)^X \left(1+\mu \Delta t - \sigma \sqrt{\Delta t}\right)^{N-X} $
在哪裡 $ X $ 是一個二項式 RV，計數 $ 1 $ 來自硬幣翻轉和 $ N = T/\Delta t $ . 使用正態近似 $ X $ 並讓 $ \Delta t \rightarrow 0 $ 得到我們
$ S_T = S_0 e^{(\mu-\sigma^2/2)T}e^{\sigma \sqrt{T} Z} $
在哪裡 $ Z $ 是標準正常的（或者我們可以替換 $ \sqrt{T} Z $ 布朗運動 $ W $ 對於動態模型）。由此我們可以計算出以下預期值：
$ \ln(E[S_T]) = \ln(S_0) + \mu T $
$ E[\ln(S_T)] = \ln(S_0) + (\mu - \sigma^2/2) T $
首先，一個愚蠢的問題：如果波動性不是一個問題，那麼投資者在決定購買股票時會關心這些數量中的第二個，是嗎？即，對數回報的期望值是股票表現的正確衡量標準，而不是期望值的對數？
我的第二個問題可能沒有那麼愚蠢。假設我剛才說的是正確的，這是否意味著，在這個模型完美地存在的世界裡 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 以所有股票和所有投資者而聞名， $ \mu - \sigma^2/2 = r $ ，無風險利率？似乎是，因為與 $ \mu = r $ 和 $ \sigma = 0 $ 始終可供投資者使用。我問是因為我很好奇，我想對我的學生說一些關於兩者之間關係的聰明的話 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 在這個模型中，例如更高 $ \sigma $ 意味著更高 $ \mu $ .
另一個問題。有人告訴我，有一根魔杖叫做風險中性估值，它可以讓我改寫
$ \Delta S = r S \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \varepsilon^\star S $
我們更換的地方 $ \mu $ 無風險利率和 $ \varepsilon^\star $ 是從風險中性機率測度導出的不同隨機變數。我暫時買那個。令我困惑的是，在推導歐式期權的 Black-Scholes 公式時，即使我們已經替換了，如何得出正確的公式 $ \mu $ 和 $ r $ 但沒有被替換 $ \varepsilon $ 和 $ \varepsilon^\star $ .
我的意思是，假設你寫
$ S_T = S_0 e^{(r-\sigma^2/2)T}e^{\sigma \sqrt{T} Z} $
也就是說，替換 $ \mu $ 和 $ r $ 但不變_ $ \sigma $ 至 $ 0 $ 或更改第二個指數中的任何內容（即，將其更改為不同版本的褐變運動） 如果您使用此表達式來計算以執行價格支付的歐式看漲期權的貼現期望值 $ K $
$ e^{-rT}E[\text{max}(S_T - K,0)] $
一個得出正確的公式 $ C $ ，歐式看漲期權的 Black-Scholes 價格。但是為什麼會這樣呢？為什麼要通過假設得出這種期權的公允價值 $ \mu = r $ , 但仍然假設 $ \sigma \neq 0 $ ? 我意識到讓 $ \sigma = 0 $ 讓一個選項一開始就毫無意義，但我真的不明白為什麼我們有理由讓 $ \mu = r $ , 而不是什麼 $ \mu $ 實際上是（無論它是什麼）。
最後，您可以告訴我有關實際投資者如何反應（他們的估計）的任何聰明的事情 $ \mu $ 和 $ \sigma $ ，在這個模型的背景下，會很有幫助。
對不起，我的天真，我離股市最近的一次是在沙發上翻過 CNBC。謝謝你的幫助。
更新：
你倆說的對我來說很有道理。順便說一句：Riesz 表示定理是用來證明風險中性測度存在的基本要素嗎？
不過，我對一件事仍然很模糊。我沒有詳細了解 Black-Scholes PDE/動態套期保值論點，但我明白了要點；通過來回交易衍生品和股票來建立一個自籌資金的無風險投資組合。我敢肯定，這是推導出歐式期權的布萊克-斯科爾斯公式在概念上最合理和最有見地的方法。但是我沒有時間在課堂上討論這個，所以讓我們假設我們不知道任何 Black-Scholes PDE 的東西，也不知道 Feynman-Kac 公式。再次假設模型
$ S_T = S_0 e^{(\mu - \sigma^2/2)T} e^{\sigma \sqrt{T} Z} $
有沒有辦法從更簡單的原則論證計算
$ e^{-rt} E[\text{max}(S_T-K,0)] $
是歐式期權的有效定價，替換後 $ \mu $ 和 $ r $ ? 因為老實說，如果我真的在外面出售這些選項並且需要給它們定價，而且除了這個模型之外我沒有任何關於這方面的教育，而且我知道我可以賣出足夠多的它們來讓平均定律獲勝，我正在做這個精確的計算，但離開 $ \mu $ 就在它所在的位置（在學習實際公式或對沖參數之前，這是我對如何為期權定價的最初猜測）。事實上，在我看來，無論是什麼機率模型 $ S_T $ 如果您相信特定的股票，這種計算應該會引導您對期權的價值做出最佳猜測，而無需進行任何更改，例如讓 $ \mu = r $ . 我在哪裡錯了？
最後，你能推荐一些現實的價值觀嗎？ $ \mu $ 和 $ \sigma $ 讓我和我的學生一起玩？實際的交易者真的會費心去估計嗎 $ \mu $ 和 $ \sigma $ ?
感謝您的幫助。
讓我們依次回答您的問題-
如果不擔心波動性，投資者就會擔心
$$ E[\log S_T] = \log S_0 + (\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2)T $$ 在決定購買股票時，是嗎？即對數回報的期望值是股票表現的正確衡量標準，而不是期望值的對數？
是的，對於長期表現，您應該關注對數回報，因為這些回報包含了懲罰非常波動的股票的波動拖累。
假設我剛才說的是正確的，這是否意味著，在這個模型完美地存在的世界裡 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 以所有股票和所有投資者而聞名， $ \mu-\tfrac{1}{2}\sigma^2=r $ ，無風險利率？
在模型完美的世界中，並且 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 是所有投資者都知道的，並且投資者是風險中性的，那麼這個等式成立。更一般地說，你可以
$$ \mu = r + \tfrac{1}{2}\lambda \sigma^2 $$ 在哪裡 $ \lambda $ 是風險的市場價格。如果 $ \lambda>1 $ 那麼投資者是風險厭惡的，即他們要求以承擔風險的額外回報來補償。如果 $ \lambda<1 $ 那麼投資者就是在尋求風險。一個更複雜的模型是資本資產定價模型(CAPM)，它將與市場的共變異數作為額外的風險來源。請注意，CAPM 本身被視為一種非常簡單和幼稚的資產回報模型。
為什麼要通過假設得出期權的公允價值 $ \mu=r $ 但仍然假設 $ \sigma\neq 0 $ ?
導致 Black-Scholes 期權定價公式的論點是動態對沖論點。通過遵循特定的交易策略（即以指定數量買賣股票），投資者可以複製看漲或看跌期權的支付。因此，期權的價格必須等於執行該交易策略的成本（遵循一價定律）。
為了確定實施交易策略的成本（在連續定價的限制下），您設置了 PDE，Black-Scholes 方程，
$$ V_t + rSV_S + \tfrac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS} = rV $$ 其解給出了期權的價格。注意 $ \mu $ 沒有出現在這個等式中（由於動態對沖而退出），因此期權的價格不能取決於 $ \mu $ .
最後， Feynman-Kac 公式提供了指向預期的連結（以及您可以使用 Monte Carlo 求解期權價格的原因），該公式轉換了某類拋物線 PDE 的解（其中 Black-Scholes 方程是一）對特定隨機過程的期望。由於 Black-Scholes 方程不依賴於 $ \mu $ ，我們知道隨機過程不能依賴於 $ \mu $ 或者，事實上隨機過程結果是
$$ \frac{dS_t}{S_t} = r dt + \sigma dZ_t $$ 具有由期權的支付指定的終止條件（我們使用終止條件而不是初始條件，因為與傳統的類似熱的拋物線 PDE 相比，Black-Scholes 方程具有時間反轉）。
這就是數學答案。直覺的答案是“我們可以對沖與股票漂移相關的所有價格變動，因此期權的價格不能取決於漂移”。
也就是說，即使你有兩隻具有不同漂移項的完全相關的股票，並且你為每隻股票買了一個看漲期權，這些期權也會有不同的終值（漂移越大的股票價值越高），但成本對於漂移較大的股票，動態對沖股票走勢的風險也會更高，其數量恰好抵消了期權終值的差異，因此期權現在具有相同的價值。