Gamma 乘以 S 的期望值22^2在 Black-Scholes 模型中
有人可以證明：
$$ E[S_t^2 \times \Gamma(t,S_t)] = S_0^2 \times \Gamma(0,S_0) $$
在哪裡 $ S_t $ 遵循 Black-Scholes 模型中的對數正態過程，而 Gamma 是二階導數 $ \partial^2 C/\partial S^2 $ 相對於 S 的期權價格。
我可以通過模擬看到它是正確的，但我無法證明它。Vega 似乎也是如此。
你需要做的是證明美元伽瑪滿足 Black-Scholes PDE。使用 Feynman-Kac 可以得出美元 gamma 是對“回報”的預期，就像 Black-Scholes 聲稱價格是對回報的預期一樣。如果某件事是對回報的期望，那麼它就是鞅。
實際上，您不需要 Black-Scholes 假設。這適用於任何模型（LV、SV、LSV …）。
我將上面的內容留給您執行。我想展示的是使用 Black-Scholes 價格公式的同質性屬性的一個很好的小技巧：用下標表示偏導數，BS 呼叫價格函式的同質性意味著 $$ C = SC_S + KC_K $$ 再次取導數 $ S $ 上式的，也取導數為 $ K $ 上式的。這會給你兩個等式，經過一些取消後，你會得到以下等式： $$ S^2C_{SS} = K^2C_{KK} $$ 左側是美元伽瑪值。右手邊是 $ K^2 $ 乘以貼現機率密度。但貼現的機率密度只是 $$ C_{KK} = e^{-r(T-t)} E_t [ \delta(S_T-K)] $$ 在哪裡 $ \delta $ 是狄拉克函式。因此，美元 gamma 是鞅。
請注意，同質性技巧也立即表明美元 delta 也是鞅，因為 $ C_K = - e^{-r(T-t)} E_t [\theta (S_T - K)] $ ， 在哪裡 $ \theta $ 是 Heaviside 函式。
當利率為零時，這個猜想是正確的。請注意，根據這個問題，在 Black-Scholes 模型下， $$ \begin{align*} \Gamma(t,S_t) &= \frac{N’(d_1(t))}{S_t \sigma \sqrt{T-t}}\ Vega(t,S_t) &= S_tN’(d_1(t)) \sqrt{T-t}, \end{align*} $$ 在哪裡 $$ \begin{align*} d_1(t) = \frac{\ln \frac{S_t}{K} + \big(r+\frac{1}{2}\sigma^2\big)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}. \end{align*} $$ 那麼，不難看出 $$ \begin{align*} Vega(t,S_t) = \sigma, (T-t), S_t^2, \Gamma(t,S_t). \end{align*} $$ 最後， $$ \begin{align*} E\big( \sigma (T-t),S_t^2, \Gamma(t,S_t)\big) &= E\big(Vega(t,S_t)\big) \tag{1}\ &= E\left(\frac{\partial}{\partial \sigma}E\left(e^{-r(T-t)} (S_T-K)^+\big|\mathscr{F}_t\right) \right). \end{align*} $$ 然而，我們不能把偏微分去掉，因為這個微分只涉及到波動率 $ t $ 至 $ T $ ，並且，如果我們把它拿出來，那麼波動率 $ 0 $ 至 $ T $ 參與。
我們表示 $ \sigma_1=\sigma $ 波動性來自 $ 0 $ 至 $ t $ ， 和 $ \sigma_2=\sigma $ 波動性來自 $ t $ 至 $ T $ . 此外，讓 $$ \begin{align*} \hat{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{T}\left(\sigma_1^2 t + \sigma_2^2 (T-t)\right)} = \sigma. \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} E\big(Vega(t,S_t)\big) &= E\left(\frac{\partial}{\partial \sigma_2}E\left(e^{-r(T-t)} (S_T-K)^+\big|\mathscr{F}_t\right) \right)\ &=\frac{\partial}{\partial \sigma_2}E\left(e^{-r(T-t)} (S_T-K)^+\right)\ &= e^{rt} \frac{\partial}{\partial \sigma_2}E\left(e^{-rT} (S_T-K)^+\right)\ &= e^{rt} \frac{\partial}{\partial \hat{\sigma}}E\left(e^{-rT} (S_T-K)^+\right) \frac{\partial \hat{\sigma}}{\partial \sigma_2}\ &=e^{rt} Vega(0,S_0) \frac{T-t}{T}\ &= e^{rt} \sigma, T,S_0^2, \Gamma(0,S_0) \frac{T-t}{T}\ &= e^{rt} \sigma, (T-t),S_0^2, \Gamma(0,S_0). \end{align*} $$ 因此，從 $ (1) $ , $$ \begin{align*} E\big(S_t^2, \Gamma(t,S_t)\big) = e^{rt} S_0^2,\Gamma(0,S_0). \end{align*} $$