使用 Black-Scholes 計算的隱含波動率的預期股價範圍
使用隱含波動率計算預期股票價格範圍的正確方法是什麼，而不是簡化假設股票價格服從正態分佈？
考慮股票價格過程（幾何布朗運動）： $$ S_t=S_0exp((\mu-0.5\sigma^2)t+\sigma W_t) \tag{1} $$
在哪裡 $ W_t $ 是一個維納過程並且 $ \mu $ 是漂移 - 或平均回報。如果您不熟悉維納過程，您可以將這個等式視為： $$ S_t=S_0exp((\mu-0.5\sigma^2)t+\sigma \sqrt t Z) \tag{2} $$在哪裡 $ Z $ 是標準正態隨機變數。然後 $ S_t $ 遵循對數正態分佈。
對於這個過程，我們有： $$ E^P[S_t]=S_0exp(\mu t) $$ 參數 $ \mu $ 意味著股票盈利 $ \mu t $ 期間平均 $ t $ . 這只是一個連續的複利公式。
當我們在 Black-Scholes 設置中為期權定價時，我們最初假設股票價格遵循這個過程。但隨後我們改變了漂移參數 $ \mu $ 無風險利率 $ r $ 因為這使我們能夠計算複製的投資組合價值。我們將此步驟稱為 - 將現實世界的衡量標準更改為風險中性衡量標準。這是因為我們假設市場是無套利的，我們可以通過適當的交易策略（複製投資組合）複製期權。如果可能，那麼期權價格只是複制期權收益的複制投資組合的價格，為了計算複製投資組合（和期權本身）的價格，我們必須將實際漂移參數更改為無風險利率，然後評估貼現收益的預期。
因此，當我們改變測量（即改變漂移）時，我們有： $$ S_t=S_0exp((r-0.5\sigma^2)t+\sigma W_t^Q) \tag {3} $$
因此，在這個“新”過程中，我們有： $$ E^Q[S_t]=S_0exp(rt) $$
這只是意味著在該風險中性措施中，資產平均獲得無風險利率。該措施只是計算期權價值的一種方法。
你應該記住，實際上我們假設 $ \mu > r $ 即平均而言，股票市場超過了無風險利率，因為在股票市場中存在額外的風險，應該通過更高的價格來補償 $ \mu $ .
但接下來我們可以問自己，股價的價格區間是多少？我們應該計算它wrt $ r $ 或者 $ \mu $ ? 如果您想知道真實世界的機率（也稱為物理機率），我假設您會這樣做，那麼您應該使用 $ \mu $ . 但知道真實 $ \mu $ 很難。_ 您可以嘗試使用歷史數據來估計它，但問題在於 $ \mu $ 是實際上它不是一個常數，它可以每天都在變化。但是對於短期的視野知道 $ \mu $ 知道波段並不是很重要，因為在我們的方程中，與波動率（隨時間的平方根成比例）相比，它真的很小（並且呈線性比例）。因此我們可以假設 $ \mu = 0 $ .
那麼如果我們假設 $ \mu = 0 $ ， 我們有：
$$ S_t=S_0exp((-0.5\sigma^2)t+\sigma \sqrt t Z) \tag{4} $$
我們可以很容易地計算波段：
向上：$$ S_{up}=S_0exp((-0.5\sigma^2)t+\sigma \sqrt t * \Phi^{-1}(0.5+q/2)) $$ 下：$$ S_{down}=S_0exp((-0.5\sigma^2)t+\sigma \sqrt t * \Phi^{-1}(0.5-q/2)) $$
在哪裡 $ q $ 是頻帶（例如 68%）和 $ \Phi^{-1} $ 是標準正態 CDF 的倒數。
因此要計算 68% 波段，對於股票 $ S_0=100 $ 和波動性 $ \sigma = 0.30 $ 在 1 個月的時間內 $ t= 1/12 $ 我們得到： $$ S_{up}=100exp((-0.50.3^2) * 1/12 + 0.3 * \sqrt {1/12} * \Phi^{-1}(0.5+0.68/2)) $$ $$ =100exp((-0.50.3^2) * 1/12 + 0.3 * \sqrt {1/12} * 1)=108.59 $$ 和$$ S_{down}=91.41 $$
但如果是真的 $ \mu = 0.1 $ 我們不知道並假設 $ \mu=0 $ 那麼正確的波段是 $ S_{up}=109.49 $ 和 $ S_{down}=92.17 $ 我們的計算只是略微偏離。