找到複製投資組合一個歐洲 T 債權（看跌期權）
我有
$$ dX_0(t) = ρX_0(t)dt ; \qquad X_0(0) = 1\ dX_1(t) = αX_1(t)dt + βX_1(t)dB(t) ; \qquad X_1(0) = x_1 > 0 $$ 作為經典的布萊克-斯科爾斯市場。我試圖尋找複製的投資組合 $ \theta(t) = (\theta_0(t),\theta_1(t)) $ 對於以下歐洲 T 聲明：
$ F(\omega) = (K -X_1(T,\omega))^+ $ $ \qquad $ （歐式看跌期權）
有人可以幫我嗎？
$$ dX_0(t)=\rho,X_0(t),dt $$ 因此 $$ X_0(t)=e^{\rho t} $$ 複製導數 $ V=F(t,X_1(t)) $ 我們用隨機過程形成一個自籌資金的投資組合 $ X_1 $ 和確定性過程 $ X_0 $ 以正確的比例。 因此我們需要使用複制 $ (\theta_0(t),\theta_1(t)) $ . 自籌資金假設意味著
$$ V=\theta_1(t)X_1(t)+\theta_0(t)X_0(t)\tag 0 $$ 所以 $$ dV=\theta_1(t)dX_1(t)+\theta_0(t)dX_0(t)\tag 1 $$ 應用伊藤引理，我們有 $$ dV=\left(\frac{\partial V}{\partial t}+\alpha X_1(t)\frac{\partial V}{\partial X_1}+\frac{1}{2}\beta^2X_1^2(t)\frac{\partial^2 V}{\partial X_1^2}\right)dt+\beta X_1(t)\frac{\partial V}{\partial X_1}dB_t\tag 2 $$ 我們假設投資組合是自籌資金的，這意味著投資組合價值的變化是由於三種工具價值的變化，而不是其他原因。 在這種設置下，任何工具都可以通過使用正確的權重形成其他兩種工具的複制組合來複製。
$ (1) $ 和 $ (2) $
$$ \left(\frac{\partial V}{\partial t}+\alpha X_1(t)\frac{\partial V}{\partial X_1}+\frac{1}{2}\beta^2X_1^2(t)\frac{\partial^2 V}{\partial X_1^2}\right)dt+\beta X_1(t)\frac{\partial V}{\partial X_1}dB_t=\(\alpha\theta_1(t) X_1(t)+\rho\theta_0(t) X_0(t))dt+\beta\theta_1(t) X_1(t)dB_t\tag 3 $$ 所以 $$ \theta_1(t)=\frac{\partial V}{\partial X_1}\tag 4 $$ 代入方程 $ (4) $ ， 我們有 $$ \left(\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\beta^2X_1^2(t)\frac{\partial^2 V}{\partial X_1^2}\right)=\rho\theta_0(t) X_0(t)\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad=\rho\theta_0(t)\left(\frac{V-\theta_1(t)X_1(t)}{\theta_0(t)}\right)\ \ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad,,,,=\rho V-\rho\theta_1(t)X_1(t)\ \ \ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=\rho V-\rho\frac{\partial V}{\partial X_1}X_1(t) $$ 換句話說 $$ \frac{\partial V}{\partial t}+\rho X_1(t)\frac{\partial V}{\partial X_1}+\frac{1}{2}\beta^2X_1^2(t)\frac{\partial^2 V}{\partial X_1^2}-\rho V=0\tag 5 $$ 的確
$$ \theta_0(t)=\frac{V-\theta_1(t)X_1(t)}{X_0(t)}\ \ \theta_1(t)=\frac{\partial V}{\partial X_1} $$