對沖隨機利率
我正在研究一個指數，我正在嘗試對它的看漲期權定價。我使用 3 個月 LIBOR 作為現金。
我使用以下 Black-Scholes 公式
$$ C_{t} = S_{t}e^{-q_{t}(T-t)}\mbox{N}[d_{1}(t)] - K e^{-r_{t}(T-t)}\mbox{N}[d_{0}(t)] $$用通常的符號。 $ r_{t} $ 是 LIBOR 利率和 $ q_{t} $ 是我的指數的紅利。我不能使用經典公式 $ R(t,T) = \frac{1}{T-t} \int_{t}^{T} r_{s} ds $ 因為速率不是確定性的。 我實施了經典的 delta 對沖。我的 delta 對沖效果很好，除了太深的貨幣看漲期權，其中損益表的行為與利率完全一樣。
這種情況只發生在幾年到期的 Call 中，並且在資金上取得了很大的成功。我的經理的結論是，我必須使用零息債券來對沖利率的隨機性。
我查看了一些關於零息票的文件，發現我們可以在 Hull-White 模型下有一個封閉的公式。但是，我不太確定如何校準它，因為我唯一的輸入是 LIBOR 利率。
此外，我不知道我應該在我的零息債券上投資多少：我應該投資 $ \rho $ ( $ \frac{\partial C_{t}}{\partial r_{t}} $ ) ?
我真的不知道從哪裡開始，所以任何幫助將不勝感激:)
謝謝！
**問題：**您能否準確地說 $ d_{1}(t) $ 和 $ d_{0}(t) $ 你在你的公式中使用？
也就是說，如果您使用相同的 $ d_{1} $ 和 $ d_{2} $ 與經典的 B&S 理論一樣，您的公式是不正確的，因為它僅適用於恆定的確定性速率。
我相信存在考慮隨機率的 Black Scholes 的修改版本，但是這些公式與經典的 B&S 不同，並且取決於模型。
$ r_{t} $ 在赫爾懷特模型中並不真正代表實際利率（它沒有期限），它僅用於建模目的，對應於在日期 t 開始和結束的瞬時藉貸交易，也對應於瞬時遠期利率 $ f(t, T) $ 定義為 $ -\frac{\partial}{\partial T} logP(t, T) = f(t, T)\underset{T \rightarrow t}{\rightarrow} r_{t} $ 在哪裡 $ P(t,T) $ 是個 $ t $ 零息票到期日的價格 $ T $ ，因此使用 $ r_{t} $ 因為 LIBOR 利率是相當不准確的。
關於 Hull White 校準，通常通過使用掉期價格和 Jamshidian 技巧（參見Hull White Calibration和Jamshidian Swaption Formula Fine Tuned）來完成，我想你總是可以回歸你的 LIBOR 定價並認為這些對應於 $ r_{t} $ 的，但話又說回來，這會給你零優惠券價格與市場價格相差甚遠。
最後，關於 $ \rho $ 在股票世界中對沖（雖然我不是專家），我認為這是使用掉期完成的，所以你只需要有一個適當的貼現曲線和遠期曲線來為你的掉期定價（cf Bianchetti & Ametrano 2013） （最終，如果您正在處理可贖回產品，您需要為可贖回掉期定價，這可以看作是掉期和百慕大掉期的組合，在這種情況下，您需要一個模型來為您的護堤定價）。
問候
您可能想看看 David C. Shimko、Naohiko Tejima 和 Donald R. van Deventer 於 1993 年撰寫的“The Pricing of Risky Debt when Interest Rates are Stochastic”。他們使用 BS 模型和您可能會發現的隨機利率中的靈感。