Black-Scholes

您如何解釋 Black-Scholes 框架中的波動微笑?

  • September 12, 2019

有人對目前市場上自然形成的波動微笑(和變化)有解釋嗎?

考慮一個比 Black-Scholes 在財務上更合理的模型:股票可能由於欺詐而突然破產,並且波動性隨時間而變化。兩種模型都不是完美的,但新模型(稱為 SVJ)將“少錯”。

在數學上,我們不再有基於單個隨機生成器的 Black-Scholes SDE $ W $

$$ \frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dW $$ 而是帶有 3 個生成器的 SDE: $ W,Z $ 和一個跳轉過程 $ J $

$$ \frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dW - dJ \ d\sigma^2= \kappa(\bar{\sigma}^2-\sigma^2) dt + \eta \sigma^2 dZ $$ 有可能(儘管不是特別容易)將這種更複雜、更現實的模型推向市場。大銀行一直都在這樣做。

任何模型,包括 BS 和 SVJ,都可以“向後”執行,我的意思是它可以期權價格開始並推導出隱含參數。如果模型有 $ M $ 參數 $ p_1, p_2, \dots, p_M $ 通常用於查找模型價格 $ V $ ,那麼我們也可以選擇任意一個參數,呼叫它 $ p_n $ , 從觀察到的價格得出 $ P $ (通常通過尋根技術)。

假設我們從市場價格倒推得到隱含價值 $ \sigma $ 對於 Black-Scholes 和 SVJ。您會觀察到 SVJ 的偏斜要平坦得多。即使我們刪除任何一個跳躍也是如此 $ J $ 或隨機波動 $ Z $ .

例如,這裡是 Black-Scholes 波動率的偏斜,這是由於在專有的跳躍擴散模型中對一系列期權進行定價而產生的,平坦的(按執行價)波動率為 20%

跳躍隱含偏斜

我們看到跳躍擴散中的恆定波動率參數等效於 Black-Scholes 波動率的偏斜。

結論:微笑來自模型過於強烈的現實簡化。

隱含波動率與任何特定的定價模型關係不大,尤其是與 BS 關係不大。BS 是價格和波動率之間的轉換工具,它自身存在許多模型缺陷。我不會進入這樣的模型假設,因為我的觀點完全不同。甚至微笑/假笑也與 Black-Scholes 模型完全無關,我讀到您的問題,您想了解為什麼遠離金錢的 IV 高於接近金錢的 IV。

我的觀點是,IV 完全是供需驅動的。無論是從現在或明天到期的期權的 IV,無論是 90 看跌期權(股票期權)、30 delta 行使價(fx),還是任何其他利率期權、商品期權,你都有什麼…… .

有人正確地指出,微笑/假笑的大部分起源可以追溯到 1987 年 10 月的震驚(http://en.wikipedia.org/wiki/Black_Monday_(1987 ))

在此之前,幾乎所有的 IV(無論是否有錢)都是同等定價的。然而,股市崩盤後的市場發現,主要的下行保護定價太便宜了。現在我想問題的核心是為什麼:大多數可以歸因於那些通常編寫此類期權的人,例如賣方交易台,但尤其是在此類期權中做市的場內交易者。他們遭受了巨大的損失,並發現他們沒有足夠的補償來寫出如此嚴重的期權。這與市場低估了此類極端事件發生的可能性這一事實有關。

然而,另一個重要的發現導致許多做市商在遠離貨幣的地方交易的 IV 高於在貨幣的水平,這與遠離目前價格水平的回報波動率往往遠高於目前回報波動率的信念有關。. 例如,預計回報波動率將高於目前回報波動率 20% 的市場水平。我想這背後的理性在某種意義上是一個悖論:通常沒有人需要關心從目前水平下跌 10% 左右的瞬時波動,因此從某種意義上說,與 90 看跌期權相關的隱含波動率並不重要。但是,如果意外發生超出預期,則回報波動率會比目前水平大幅提高 10%。請記住,微笑/假笑是動態的,僅反映目前的期望。我曾多次在股票指數和股票期權中看到“倒掛的傻笑”,因為看漲期權的 IV 比看跌期權的 IV 高。

支持這種“假笑”的一般形式的另一點是,從經驗上看,股票市場的下行回報波動率遠高於上行回報波動率。從某種意義上說,恐慌和恐懼會導致人們的非理性行為,而不是興高采烈。

因此,總而言之,這一切都與市場如何定價衝擊(向下和向上)發生的可能性及其嚴重程度有關。

編輯:請記住,大多數遠離目前現貨/遠期水平的 IV 都表現出比 ATM IV 價格更高的特性。在看漲期權方面就是這種情況,因為現在期權通常被用作槓桿賭注,而不是直接購買底層證券。由於希望保護標的資產(尤其是買方基金行業)的多頭頭寸,因此更積極地購買了低於目前現貨/遠期的看跌期權。由於上述原因,遠離貨幣的 IV 比 ATM 更需要。我建議你不要閱讀比這更多的內容,因為在一天結束時交易波動只不過是交易任何其他資產,價格被設定為純粹的供求函式,

研究表明,假笑的明顯程度與潛在的未來回報預期之間存在關係。這並不讓我感到驚訝,因為從某種意義上說,它強化了我上面解釋的內容,即如果人們預期標的資產未來會出現負回報,則要麼用下行看跌期權進行保護,要麼同樣買入上行看漲期權(通常作為槓桿押注而不是標的資產),如果他們預計標的資產的未來回報為正,因此微笑 = 遠離資金的更高 IV。

引用自:https://quant.stackexchange.com/questions/4503