怎麼φ噸=Δ噸φ噸=Δ噸phi_t = Delta_t在 Black-Scholes 下的鞅定價方法中？
在衍生品定價的鞅方法中，我們證明存在複製策略 $ (\phi_t, \psi_t) $ 這模仿了衍生收益。然後我的教科書繼續說，甚至可以知道確切的價值是什麼 $ \phi_t $ 是：它等於 $ \Delta_t $ , 衍生品價格相對於標的物價格的數學導數。
我想知道這方面的證據和/或直覺——這是我的教科書未能提供的。
首先回憶一下布萊克和斯科爾斯是如何得出他們著名的結果的：
讓 $ \mathrm{d}S_t=rS_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t $ 和 $ \pi(t,x)=-C(t,x)+\delta x $ 這樣 $ \pi(t,S_t) $ 是時候 $ t $ 做空一種歐式看漲期權並做多的投資組合的價格 $ \delta $ 股票的單位。這裡， $ \delta\in\mathbb{R} $ 只是一些真正的常數，而不是期權價格的敏感性。由於投資組合是自籌資金的，
$$ \begin{align*} \mathrm{d}\pi(t,S_t) &=-\mathrm{d}C(t,S_t)+\delta \mathrm{d}S_t \ &=-\mathrm{d}C(t,S_t)+\delta rS_t\mathrm{d}t + \delta \sigma S_t\mathrm{d}W_t. \end{align*} $$
此外，根據伊藤引理，
$$ \mathrm{d}C(t,S_t)=\left(\frac{\partial C}{\partial t}(t,S_t)+rS_t\frac{\partial C}{\partial x}(t,S_t)+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}(t,S_t)\right)\mathrm{d}t+\left(\sigma S_t\frac{\partial C}{\partial x}(t,S_t) \right)\mathrm{d}W_t. $$
回顧 $ \delta $ 是任意實常數。如果你現在設置 $ \delta=\frac{\partial C}{\partial x}(t,S_t)=\Delta_t $ （即你的期權增量），然後，布朗運動取消，你得到（通過無套利）
$$ \begin{align*} \mathrm{d}\pi(t,S_t) &= \left(-\frac{\partial C}{\partial t}(t,S_t)-\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}(t,S_t)\right)\mathrm{d}t \ &= r\pi(t,S_t)\mathrm{d}t \ &= r\left(-C(t,S_t)+\frac{\partial C}{\partial x}S_t\right)\mathrm{d}t. \end{align*} $$ 因此，您當然會到達著名的 Black Scholes PDE。
然而，這種推導表明，看漲期權可以以無風險的方式對沖，因此，您可以通過投資股票和債券來複製其收益。作為 $ \Delta $ 給你對股價變化的敏感性，這並不奇怪 $ \Delta_t $ 告訴你需要在股票上投資多少。
或者，回想一下$$ C(t,S_t) = S_te^{-q(T-t)}\Pi_1-Ke^{-r(T-t)}\Pi_2. $$這是看漲期權的價格，並且 $ \Pi_1 $ 和 $ \Pi_2 $ 是一些機率。這個公式非常普遍，適用於比 Black-Scholes 模型更多的模型。條款 $ \Pi_1 $ 和 $ \Pi_2 $ 再次告訴您需要在股票和債券上投資多少才能對沖看漲期權，然後再一次， $ e^{-q(T-t)}\Pi_1 $ 是你的 Delta，它告訴你需要在股票上投資多少。