如何確定跟單索賠的無套利價格？（更改計價方式）
如何確定索賠的無套利價格，例如 $ min(S_1(T),S_2(T)) $ 或者 $ max(S_1(T),S_2(T)) $ ? 我們可以考慮一個標準的 Black Scholes 模型。因此 $ S_i(T)=S_i(t)e^{(r-\sigma_i^2/2)(T-t)+\sigma_i(W(T)-W(t))} $ W 是布朗運動。
經過一番閱讀，我發現在評估此類索賠的 NA 價格時，我需要更改計價方式。有人可以指導我嗎？謝謝你。
注意：
$$ \begin{align} &\max(S_T^1,S_T^2)=S_T^2+\max(S_T^1-S_T^2,0) \ &\min(S_T^1,S_T^2)=S_T^2-\max(S_T^2-S_T^1,0) \end{align} $$ 表格條款 $ \max(S_T^i-S_T^j,0) $ 可以在 Black-Scholes 框架中使用Margrabe 公式進行評估。
關於 numéraire 的變化，我給出了一個如何進行的草圖。讓 $ \xi_T $ 成為回報 $ T $ , 我們一般有 $ B_T $ 貨幣市場賬戶： $$ \begin{align} E^\mathcal{Q}\left(\frac{\xi_T}{B_T}\right)&=E^\mathcal{S}\left(\frac{B_TS_0}{B_0S_T}\frac{\xi_T}{B_T}\right) \ &=S_0E^\mathcal{S}\left(\frac{\xi_T}{S_T}\right) \end{align} $$ 在哪裡 $ \mathcal{Q} $ 是風險中性度量，以貨幣市場賬戶為計量單位，並且 $ \mathcal{S} $ 以股票價格為 numéraire 的度量（注意 $ B_0=1 $ ）。這裡， $ \xi_T=\max(S_T^i-S_T^j,0) $ 因此，如果您選擇 $ S^j $ 作為現金你得到： $$ E^\mathcal{Q}\left(\frac{\xi_T}{B_T}\right)=S_0^jE^{\mathcal{S}^j}\left(\max\left(\frac{S_T^i}{S_T^j}-1,0\right)\right) $$ 比例 $ S^i/S^j $ 將在 Black-Scholes 框架中呈對數正態分佈。請記住，您需要確保比率為鞅，因為任何由一個numéraire 重新計算的交易資產在與該numéraire 相關的度量下都是一個鞅。為此，您必須將 Itô 引理應用於比率並定義布朗運動 $ W^{\mathcal{S}^j}_t=W^\mathcal{Q}_t+\theta_t $ 通過設置 $ \theta_t $ 這樣 $ S^i/S^j $ 沒有漂移。