如何從封閉形式獲得 Black Scholes 的幾何布朗運動微分形式？
我的導師大多有獨立的筆記，我們的教科書主要是參考。
她寫道：
$$ S_t = S_0e^{(\mu - \frac{\sigma^2}{2})t + \sigma W_t} \iff dS_t = S_t(\mu dt + \sigma dW_t) $$ 我覺得指數的基本微分意味著在右手邊我們應該有
$$ dS_t = S_t \left((\mu - \frac{\sigma^2}{2})dt + \sigma dW_t \right) $$. 我很感激理解為什麼 $ \frac{\sigma^2}{2} $ 當這是關於指數微分的基本規則時，從微分中消失。
您在這裡的推導是有缺陷的，因為您是針對兩個過程進行推導的，並且您沒有考慮到變數 $ W_t $ 是隨機的，因此 $ S_t $ 也是。
所以，要導出 $ S_t $ 從 $ dS_t $ ，您必須應用Ito 的引理，有關詳細資訊，請參閱此問題。這是你看到它的“經典”方式。
如果你想反過來做，設置 $ S_t = f(W_t,t) = S_0 \exp \left[ (\mu - \frac{\sigma^2}{2}) t + \sigma W_t \right] $ 並應用 Ito 引理給你：
$$ df(W_t,t) = \frac{\partial f}{ \partial t } dt + \frac{\partial f}{ \partial W_t } dW_t + \frac{\partial^2 f}{ (\partial W_t)^2 } d \langle W\rangle_t $$ $$ df(W_t,t) = S_t \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) dt + S_t \sigma dW_t + \frac{1}{2} S_t \sigma^2 dt $$ $$ df(W_t,t) = S_t \left[ \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} + \frac{\sigma^2}{2} \right) dt + \sigma dW_t \right] $$ $$ df(W_t,t) = S_t ( \mu dt + \sigma dW_t ) = dS_t $$ 所以，基本上伊藤引理增加了一個隨機過程的二次變分項， $ d \langle W\rangle_t $ ，對於確定性過程為 0。這就是 $ \frac{\sigma^2}{2} $ 出現（或消失，取決於您如何看待它）。