Black-Scholes
如何在 Black-Scholes 模型中獲得幾何布朗運動的閉式解？
Black Scholes 模型假設底層證券具有以下動態，即眾所周知的幾何布朗運動：
$$ dS_t=S_t(\mu dt+\sigma dW_t) $$ 然後給出解決方案：
$$ S_t=S_0,e^{\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\sigma W_t} $$ 它可以由 Ito Lemma 對函式表示 $ f(t,W_t)=\ln S_t $ 該解決方案是正確的，因為它導致了上述動態。
但是我們如何解決上面的 SDE 來找到這個解決方案呢？
猜測上述解決方案來應用 Ito 對我來說似乎不太可能。
如果通過“解決”你的意思是我們怎麼知道 $ \ln S_t $ 是變數的正確變化，那麼您可以按照以下（不嚴格）構想：
- Ito 的公式表明，給定一個 SDE$$ dX_t = \mu(X_t,t)dt+\sigma(X_t,t)dW_t $$和一個函式 $ f(x,t) $ : 程序的 SDE $ Y_t=f(X_t,t) $ 會滿足$$ dY_t = [f_t(X_t,t) + f_x(X_t,t)\mu(X_t,t) + \frac{1}{2}f_{xx}(X_t,t)\sigma^2(X_t,t)]dt+f_x(X_t,t)\sigma(X_t,t)dW_t $$
- 現在現貨價格的 SDE 如您所寫，由下式給出$$ dS_t = \mu S_tdt+\sigma S_t dW_t $$: 因此發生了轉變 $ f $ 應用於此 SDE 將具有由下式給出的動態$$ dY_t = […]dt+f_x(S_t,t)\sigma S_t dW_t $$
- 我們希望轉型能夠消除對波動性的依賴，因此我們想要“解決”類似“ $ f_x(S_t,t)\sigma S_t = const. $ ‘這基本上意味著’ $ f_x(x,t) = \frac{1}{x} $ ‘。這指向猜測$$ f(x,t)=\ln x $$.