隱式有限差分法總能保證衍生品價格為正且穩定？
對於以下布萊克斯科爾斯 pde $$ f_t + rSf_S+\frac{1}{2}\sigma^2S^2f_{SS} = rf $$
通過表示 $ f_{i}^{n} = $ 價格節點衍生品價格 $ i $ 和時間節點 $ n $ 並假設統一網格，相應的隱式方案將是 $$ a_if_{i-1}^n + b_if_{i}^n + c_if_{i+1}^n = f_i^{n+1} $$ 在哪裡 $$ a_i = -\frac{1}{2}\Delta t \left( \frac{\sigma^2S_i^2}{\Delta S^2} - \frac{rS_i}{\Delta S} \right) = -\frac{1}{2}\Delta t(\sigma^2i^2 - ri)\ b_i = 1+\Delta t \left( \frac{\sigma^2S_i^2}{\Delta S^2}+r \right) = 1+\Delta t(\sigma^2i^2 + r) \ c_i = -\frac{1}{2}\Delta t \left( \frac{\sigma^2S_i^2}{\Delta S^2} + \frac{rS_i}{\Delta S} \right) = -\frac{1}{2}\Delta t(\sigma^2i^2 + ri) $$
以矩陣形式， $$ CF_n + K_n = F_{n+1} \ F_n = C^{-1}\left( F_{n+1}-K_n \right) $$ 在哪裡 $$ F_n= \begin{pmatrix} f_1^n \ f_2^n \ \vdots \ f_{M-1}^{n} \end{pmatrix}\ C = \begin{pmatrix} b_1 & c_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \ a_2 & b_2 & c_2 & \cdots & 0 & 0 \ 0 & a_3 & b_3 & \cdots & 0 & 0 \ 0 & \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vdots \ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{M-1} & b_{M-1} \end{pmatrix} $$ $$ K_n = \begin{pmatrix} a_1f_0^n \ 0 \ \vdots \ 0 \ c_{n-1}f_M^n \end{pmatrix} $$ 在哪裡 $ f_0 $ 和 $ f_M $ 是價格網格的兩端，有一些邊界條件。
有兩個問題要問
- 所有的係數都應該大於或等於零，以保證衍生品的定價總是正的，因為到目前為止我讀過的參考文獻提到，對於顯式方案，係數必須大於等於零，但對於隱式方案則不行。我想這沒有必要，因為 $ a_i \geq 0 $ 什麼時候 $$ \frac{\Delta S}{S_i} \geq \frac{\sigma^2}{r} $$ 這將適用於小 $ S_i $ .
- 為了穩定，我認為 $ \left|C\right|{\infty} \geq 1 $ 當我們取反時 $ C $ . 什麼時候 $ a_i < 0 $ 和 $ c_i \geq 0 $ , $$ \begin{align} |a_i|+|b_i|+|c_i| &= \frac{1}{2}\Delta t(\sigma^2i^2 - ri) + 1 + \Delta t(\sigma^2i^2 + r) - \frac{1}{2}\Delta t(\sigma^2i^2 + ri) \ &= -\Delta t \frac{rS_i}{\Delta S} + 1 + \Delta t\frac{\sigma^2S{i}^{2}}{\Delta S^2} + \Delta r \end{align} $$ 它應該大於或等於1。 $$ \begin{align} & -\Delta t \frac{rS_i}{\Delta S} + 1 + \Delta t\frac{\sigma^2S_{i}^{2}}{\Delta S^2} + \Delta r \geq 1 \ \implies & -\frac{rS_i}{\Delta S} + \frac{\sigma^2S_{i}^{2}}{\Delta S^2}+r \geq 0 \ \implies & -rS_i\Delta S + \sigma^2S_{i}^{2} + \Delta S^2r \geq 0 \end{align} $$ 通過讓 $ g(S_i, \Delta S) = -rS_i\Delta S + \sigma^2S_{i}^{2} + \Delta S^2r $ ，它需要最小的 $ g $ 大於或等於 0。 $$ g_{S_i} = -r\Delta S + 2\sigma^2S_i = 0 \implies S_{i}^{} = \frac{r\Delta S}{2\sigma^2} $$ 和 $$ \begin{align} g(S_{i}^{},\Delta S) &= -\frac{r^2\Delta S^2}{2\sigma^2} + \frac{r^2\Delta S^2}{4\sigma^2} + r\Delta S^2 \ &= -\frac{2r}{4\sigma^2} + \frac{r}{4\sigma^2} + 1 \ &= -\frac{r}{4\sigma^2} + 1 \geq 0 \ \implies & \frac{\sigma^2}{r} \geq \frac{1}{4} \end{align} $$ 因此，我認為迭代是不穩定的 $ \frac{\sigma^2}{r} < \frac{1}{4} $ .
我試圖找到參考資料，但他們中的大多數使用變數的變化將布萊克斯科爾斯 pde 轉換為正常熱方程並使用馮諾依曼穩定性分析，所以我找不到答案。先感謝您。
編輯： $ c_i \geq 0 $ 是不可能的，因為 $$ c_i \geq 0 \implies \sigma^2i^2+ri \leq 0 \implies i \leq -\frac{r}{\sigma^2} $$ 因此， $ |a_i|+|b_i|+|c_i| > 1 $ 對於任何 $ a_i $ . 請忽略第二個問題。
對於原始 PDE，正性可以從拋物線運算元的最大原理推導出來。有限差分拋物運算元的最大原理也有離散版本，例如在Hung-Ju Kuo 和 NS Trudinger 中所述，關於拋物差分運算元的離散最大原理，可用於證明隱式有限的積極性PDE的差分方案。
正則熱方程的離散極大原理更容易顯示，它是通過消除兩個 $ r $ 和 $ S $ 在係數中。