隱含體積與校準體積
考慮 Black-Scholes 模型，其中對數股票在一段時間內的回報 $ \Delta t $ 是（誰）給的
$$ \log(S_{i+1}/S_i) = (\mu - \sigma^2/2)\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} Z_i, \qquad Z_i \sim \mathcal{N}(0,1). $$ 一次通話的價格 $ T $ 在這個模型下（當我們更換 $ \mu $ 和 $ r $ ) 由 (強調對 $ \sigma $ )
$$ C(\sigma) = SN(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2), $$ 在哪裡
$$ d_1 = \frac{1}{\sigma{\sqrt{T}}}\left(\log(S/K) + (r + \sigma^2/2)T\right) = d_2 + \sigma \sqrt{T}. $$ 現在，假設 $ r $ 已知，我們有（至少）兩種估計方法 $ \sigma $ ，即在對數回報上使用最小二乘回歸，或計算隱含 vol。
對數回歸的回歸：
請注意，對數返回是形式的線性回歸方程
$$ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + \sigma\sqrt{\Delta t} \epsilon_i $$ 和 $ \beta_0 = (\mu - \sigma^2/2)\Delta t $ , $ \beta_1 = 0 $ 和 $ \epsilon_i \sim \mathcal{N}(0,1) $ ， 獨立的。所以，假設我們有一個樣本 $ N $ 日誌返回（表示 $ Y_i $ ) 並且因為 $ \beta_1 = 0 $ , 我們估計 $ \beta_0 $ 以通常的回歸方式
$$ \hat{\beta_0} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N Y_i, $$ 然後估計 $ \sigma $ 使用殘差的標準差， $$ \hat{\sigma} = \frac{std(Y_i - \hat{Y_i})}{\sqrt{\Delta t}}, $$ 在哪裡 $ \hat{Y_i} $ 是回歸模型預測的對數回報。這是一種估計方法 $ \sigma $ 在定價方程中使用，並且在最小平方意義上是我們的“最佳猜測” $ \sigma $ . 這 $ \hat{\sigma} $ 然後可用於計算所有歐式看漲期權 $ S $ 在所有罷工和到期。
隱含成交量：
給定市場贖回價格 $ C_{\text{observed}} $ 對於一些罷工和到期，我們可以計算 $ \sigma_{\text{implied}} $ 這樣 $ C(\sigma_{\text{implied}}) = C_{\text{observed}} $ . 我們可以計算出這樣一個 $ \sigma_{\text{implied}} $ 對於所有看漲期權，我們都有價格（再次假設 $ r $ 已知）。然後，當我們想使用我們的定價方程為某個未觀察到的行使價/到期日定價時，我們可以選擇（或在幾個之間插值） $ \sigma_{\text{implied}} $ 最接近我們想要定價並使用的行權/到期 $ \sigma_{\text{implied}} $ 在我們的定價方程中。
因此，我們有兩種方法可以得出合適的 $ \sigma $ 在我們的定價方程中使用。似乎很多文獻都致力於隱含波動率，所以我認為這是首選技術。我的問題是，兩者之間是否有任何關係，你什麼時候會使用其中一個？
主要區別在於，一種方法假設某種動態結構正確描述了基礎工具，而另一種方法實際上只是根據隱含波動率重寫價格。
隱含波動率
隱含波動率實際上只需要兩件事：基礎股票價格和看漲期權價格（除了無風險利率和您選擇的行使價）。因此，所有的投入都是由市場決定的。對於決定隱含波動率的不同參數，您在任何時候都沒有任何不確定性。
因此，在隱含波動率方法中，您永遠無法檢測到期權定價錯誤，因為價格已經由市場設定。為什麼會有用？好吧，也許你在你的書上有一些選擇，你想知道它們的公允價值是多少。因此，您對期權價格的市場觀點感興趣。但是交易者喜歡使用波動率而不是價格，因此您不僅需要期權的市場隱含價格，還需要相應的隱含波動率。同樣，這歸結為隱含波動率只不過是對市場設定的期權價格的重寫。
請注意，BS 模型與市場設定的隱含波動率不一致。為什麼？因為隱含波動率取決於罷工。如果您提取隱含波動率，您會發現通常平價期權的隱含波動率低於遠離平價期權的期權。隱含波動率被稱為微笑，是指通過繪製隱含波動率與罷工形成的圖形的形狀。這與 BS 模型不一致，因為它只能處理一種波動率。
校準波動率
回歸方法會根據標的股票校準一切。在這裡，你真的試圖根據你的模型和歷史數據來推斷期權價格的公允價值應該是多少。如果您最終得到與市場不同的期權價格（這幾乎肯定會發生），並且您對自己的校準充滿信心，那麼您將做多或做空期權並有可能獲利。你會認為自己比市場“更了解”。
因此，這種方法依賴於模型。你選擇了用什麼模型來描述股票市場。您假設某個分佈描述了您的日誌返回，並且僅由少數統計參數完全固定。您可以將其稱為一種模型偏差。
其次，你正在處理統計推斷，因此統計誤差會蔓延。為什麼你使用的誤差函式是這樣的？為什麼不是絕對范數或其他一些誤差函式？您的選擇很可能是因為您假設您的錯誤以特定方式分佈，但這又是模型偏差的一個例子。您將使用多少數據來校準參數？你對你的統計估計有多大把握？隱含波動率只是一個價格，因此我們將始終同意這一點。但是對於校準波動率，情況並非如此，並且會有一些與之相關的統計誤差。
最後，您的模型已完全根據歷史數據進行校準。但選項都是關於未來事件的。歷史波動率可能與隱含波動率不一致，因為市場預計未來會更加波動。
現在，您的校準方法可能過於簡單，但您可能會對此進行改進。這確實是一些基金試圖做的事情。因此，校準方法實際上是關於“試圖超越市場對期權價格的看法”。
那麼歷史數據從來沒有被用作這些定價模型的輸入嗎？不必要。對於某些市場，沒有可用的隱含波動率（例如，能源市場非常缺乏流動性，或者某些機構為其客戶提供特殊選擇）。在這種情況下，歷史數據可能是估計你的期權價格的唯一合適的方法。